ベクトル間の距離
距離の公理
ベクトル間の距離の公理を定義する
(
より一般的な場合であっても本質的な違いはない)。
任意の二つのベクトル
$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の実数関数
$d (\mathbf{a}, \mathbf{b})$
が次の3つの性質を満たすとする。
$(1)$ 対称性
$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を入れ替えても $d$ は変わらない。
$(2)$ 同一性 (非退化性)
$d$ が $0$ であることと、 $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が等しいことと同値である。
$(3)$ 三角不等式
任意の三つのベクトル
$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$ に対して、
三角不等式が成り立つ。
このとき、$d (\mathbf{a},\mathbf{b}) $ を
$\mathbf{a} $
と $\mathbf{b} $
の間の
距離と呼ぶ。
また、上の三つの性質を
距離の公理と呼ぶ。
距離の正定値性
距離の公理を満たす実関数
$d(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
は $0$ 以上である。
すなわち、任意のベクトル
$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$
に対して、
が成り立つ。
証明
距離の公理
$(2)$ より、
である。
また、
距離の公理 $(1)$ と
$(3)$
より、
が成り立つ。
これらより、
が成り立つことが分かる。
ノルムによる距離
任意のベクトル
$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$
の関数
$d(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ を
ノルムにより、
と定義すると、
$d(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
は
距離の公理を満たす。
証明
● 距離の公理 $(1)$ について
ノルムの性質
により、
と証明される。
● 距離の公理 $(2)$ について
ノルムの性質
により、
と証明される。
● 距離の公理 $(3)$ について
ノルムに対する
三角不等式を適用すると、
と証明される。
具体例: ユークリッド距離
$n$ 次元実ベクトル
に対して、
と定義すると、
$d(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
は
距離の公理を満たす。
証明
● 距離の公理 $(1)$ について
● 距離の公理 $(2)$ について
● 距離の公理 $(3)$ について
はじめに
$$
\tag{i}
$$
と置く。
このとき、
$$
\tag{ii}
$$
が成り立つが、
シュワルツの不等式によって
が成り立つので、
(ii) の右辺は $0$ 以上である。
したがって、
が成り立つ。
これより、
も成り立つが、
(i) を用いて書き換えると、
と表される。
これは、
が成り立つことを表している。