接平面

	目次
-	接平面の式
-	接平面の計算例
-	定性的な議論
-	接平面の定義
-	偏微分が連続 ⇒ 全微分
-	接平面の式の導出

接平面の式

関数 $f(x, y)$ が $C^{1} 級$ の関数(偏微分可能であり、偏微分が連続)であるとき、点 $(a, b)$ における $f(x, y)$ の接平面は、

と表される (定義を参考)。ここで $f_{x}$ と $f_{y}$ はそれぞれ $f$ の $x$ と $y$ の偏微分である。

接平面の計算例
半径 $1$ の球

上の点 $A$ $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ 上の接平面を求める。
点 $A$ 付近において

であるので、 $z=f(x,y)$ と表すと、

であることから、

であるので、接平面の方程式は、

である。整理すると、

である。

近接点を通る平面 = 接平面 (定性的な議論)

関数 $z=f(x,y)$ 上の $3$ 点

を通る平面の $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$ の極限は接平面の式

と一致する。
ここで、点 $X$ は点 $A$ から $x$ 座標が $\Delta x$ だけずれた位置にある点であり、点 $Y$ は $A$ から $y$ 座標が $\Delta y$ だけずれた位置にある点である。

証明
3 点 $A$, $B$, $C$ の位置ベクトルをそれぞれ

と表すとき、 3点を通る平面の方程式は、

と表される。ここで $\vec{r}$ は

であり、平面上の点を表す。また $(\cdot, \cdot)$ と $\times$ はそれぞれ 3 次元ベクトルの内積と外積である。
計算して行くと、

であり、

であるので、 $(1)$ より平面の方程式は、

となる。整理すると、

である。
この式は、 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$ の極限において、

となる。

このように、 $3$ 点を通る平面の極限として接平面の式が導かれるが、ここで使われた $3$ 点は着目している点 $A$ と $x$ 座標だけ異なる点 $X$ と $y$ 座標だけ異なる点 $Y$ である。従って、 $x$ 座標も $y$ 座標も異なる任意の点を使って同様の議論が成り立つかどうか、またそのための条件が何なのかについては、はっきりと示されていない。
そこで一般的には次のように接平面を定義し、接平面の式が導かれる。

接平面の定義

関数 $f(x,y)$ 上の点 $A$: $(a,b, f(a,b))$ を通る平面

を $P$ とする。また、$f(x,y)$ と $P$ との差 $\epsilon $ を

と定義する。このとき

を $0$ にする極限において、

を満たす平面を関数 $f(x,y)$ 上の点 $A$ における接平面と定義する。

解説
接平面の定義を満たす平面が実際に関数 $f(x,y)$ と接することを示す。
関数 $f(x,y)$ 上の二点の位置ベクトルを

と表す。このとき、

であるので、

が成り立つ。したがって、

であるならば、

が成り立つ。ここで

を用いた。
分母にある $|\epsilon|$ は定義から、

と表せる。ここで $\vec{N}$ は平面 $P$ の法線ベクトル

である。したがって、 $|\epsilon|$ は点 $\vec{R}$ と平面 $P$ との間の距離 (垂線の足の長さ) を表す。

そこで $\vec{R}-\vec{A}$ と平面との成す角を $\theta$ とすると、 $(1)$ は、

と表される。これより、

を得る。
ここで $\tan \theta$ は、平面 $P$ に対するベクトル $\vec{R} - \vec{A}$ の傾きである。したがって、この傾きが $0$ に近づくということは、 $\vec{R}$ が $\vec{A}$ に近づくにつれて、 $f(x,y)$ の傾きと平面 $P$ の傾きが等しくなって行くことを意味する。
このような意味で

を満たす平面は $f(x,y)$ の接する平面である。