シルベスターの終結式と判別式
シルベスター行列と終結式
$n$ 次多項式 $f(x)$ と $g(x)$ が
$m$ 個の共通のパラメータ $t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{k}$
を持ち、
を満たすとする。
このとき、パラメータ間の関係を表す
を
終結式 (resultant) という。
終結式には幾つかの種類があり、
その中の一つがシルベスターの終結式 (Sylvester's resultant) である。
以下に解説を著す。
解説
$f(x)$ が $n$ 次多項式とすると、
$n+1$ 個のパラメータによって
と表せる。
$g(x)$ が $m$ 次多項式であるので、
$m+1$ 個のパラメータによって
と表せる。
これらが
を満たす場合、パラメータ間の関係式
を与える方法を議論する。
上の式を求めるには、$n$ 次方程式 $f(x) = 0$ か $m$ 次方程式 $g(x) = 0$ の片方を解き、
その結果を他方に代入すればよい。しかし、一般的には方程式 $f(x) = 0$ も $g(x) = 0$ も解くことはできない。
そこで次のような方法をとる。
$f(x) = 0$ であるので、
が成り立つ。
$g(x) = 0$ であるので、
が成り立つ。
すなわち
$$
\tag{1}
$$
が成り立つ。
これらは $m+n$ 個の連立方程式を成す。
そこで、$m+n$ 次のベクトル $\mathbf{x}$ を
と定義し、
$(n+m) \times (n+m)$ 行列 $A$ を
とすると、$(1)$ は
とまとめられる。$A$ を
シルベスター行列 (Sylvester matrix) という。
$n=3$ かつ $m=2$ の場合を具体的に表すと、
である。
$\mathbf{x}$ の最後の成分が $1$ であることから分かるように、
$\mathbf{x}\neq 0$ であるので、
$A \mathbf{x} = 0$ は自明な解 $(\mathbf{x}=0)$ ではない解を持つ。
自明な解以外の解を持つことと係数行列の行列式が $0$ になることが同値であるという線形代数の性質から、
$A$ の行列式は $0$ であることが分かる。
したがって、
が成り立つ。
この式はパラメータ
の間の関係を表す式である。
これを
シルベスターの終結式
(Sylvester resultant)
と呼ぶ。
具体例 : (二次方程式の判別式)
シルベスターの終結式を通じて
二次方程式が重解を持つための条件が
であることを示す。
証明
$f(x)$ が重解を持つための必要十分条件は、
が成り立つことである
(補足を参考)。
$f(x)$ が二次式
である場合には、
である。
第2式に $x$ を掛けて
とすると、
これらの三つの式
は、行列とベクトルを用いて、
とまとめられる。
ここで行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x}$ を
と定義すると、
$$
\tag{1}
$$
と表せる。
$\mathbf{x}$ の第三成分が $1$ であることから、
$\mathbf{x}\neq 0$ である。
したがって、
連立方程式 $(1)$ は自明な解ではない解 ($\mathbf{x} \neq 0$ を満たす解) を持つ。
ゆえに $A$ の
行列式はゼロである。
すなわち
が成り立つ。
これは
シルベスターの終結式の一例であり、
$A$ はシルベスター行列である。
これより
を得る。
左辺は $f(x)$ の判別式である。
よって、
二次方程式が重解も持つための必要十分条件が
"判別式 = 0" と表されることが、
シルベスターの終結式を通じて示された。
補足: (重解を持つための必要十分条件)
$n$ 次方程式
が $x=\alpha$ で重解を持つための必要十分条件は、
である。
証明
「$x=\alpha$ が重解」
$\Longrightarrow$
「$f(\alpha) = 0, \hspace{2mm}
f'(\alpha) = 0$」
$f(x)$ が $x=\alpha$ において重解を持つと仮定すると、
因数定理から
と表せる。ここで
$g(x)$
は
$n-2$ 次多項式である。
両辺を微分すると
であることから、
が成立する。
「$x=\alpha$ が重解」
$\Longleftarrow$
「$f(\alpha) = 0, \hspace{2mm}
f'(\alpha) = 0$」
$f(\alpha)=0$ であるので、
因数定理により、
$$
\tag{1}
$$
と表せる。ここで $h(x)$ は
$n-1$ 次多項式である。
両辺を微分すると、
であるが、
$f'(\alpha)=0$ より、
が成り立つ。
すると、
再び
因数定理におり、
$h(x)$ は、
と表せる。ここで $k(x)$ は
$n-2$ 次多項式である。
これと $(1)$ により、$f(x)$ は
と表せるので、$x=\alpha$ で重解を持つ。