関数の台
| 関数の台 (support) | |
|---|---|
| - | 定義 |
| - | 具体例 |
| 閉台 (closed support) | |
|---|---|
| - | 準備 (閉包) |
| - | 定義 |
| - | 具体例 |
| コンパクトな台 (compact support) | |
|---|---|
| - | 定義 |
| - | 具体例 |
| その他 | |
|---|---|
| - | 行列の台 |
| - | 核 (kernel) との関係 |
台 (support) の定義
関数 $f(x)$ の定義域 $X$ 全体の中で、
$f (x)$ が $0$ にならない部分を
$f$ の台 (support) といい、
$\mathrm{supp}(f)$ と表す。
すなわち、
例
(1) 関数
の台
$
\mathrm{supp}(f)
$
は、$x \gt 0$ である。
(2)
関数
の台
$
\mathrm{supp}(f)
$
は、
$- \pi \lt x \lt \pi $
である。
(1) 関数
閉包 (closure)
例を使って説明する。
ある部分集合 $S$ の境界を含ませた集合を $S$ の閉包といい、
$\mathrm{cl} \hspace{1mm}S$ と表される。
次の例が分かり易い。
区間
閉台 (closed support)
関数 $f(x)$ の定義域 $X$ 全体の中で、
$f (x)$ が $0$ にならない部分の閉包を
$f$ の閉台 (closed support) といい、
$\mathrm{supp}(f)$ と表す
(台 (support) と同様の表し方)。
すなわち、
例
(1) 関数
は、開区間
$(-1,\hspace{1mm}1)$
で $f(x) \neq 0$ であるが、
$(-1,\hspace{1mm}1)$ の閉包は、
閉区間
$[-1,\hspace{1mm}1]$
である。ゆえに、$f$ の閉台は
である。
(2) 関数
は、開区間
$(- \frac{1}{2},\hspace{1mm} \frac{1}{2})$
で $f(x) \neq 0$ であるが、
$(- \frac{1}{2},\hspace{1mm} \frac{1}{2})$ の閉包は、
閉区間
$[- \frac{1}{2},\hspace{1mm} \frac{1}{2}]$
である。ゆえに、$f$ の閉台は
である
($f$ はテスト関数と呼ばれる)。
(1) 関数
コンパクトな台 (compact support)
関数 $f(x)$ の台 (support)
が有界のとき、
コンパクトな台
(compact support)
という。
行列の台
行列 $A$ の台 (support) は、
$A$
を掛けたときに、
ゼロベクトルにならないベクトルの全体である。
例
行列
をベクトル
に掛けると、
であるので、ゼロベクトルにならない。
よって、$\mathbf{x}$ 全体の集合が
$A$ の台である。
すなわち、
である。
行列
核 (kernel) との関係
$A$ を掛けたときにゼロベクトルにならないベクトルの全体が $A$ の台 (support) である。 一方、 $A$ を掛けたときにゼロベクトルになるベクトルの全体が $A$ の核 (kernel) である。 よって、$A$ の台は $A$ の核の補集合である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \mathrm{supp}(A) = \overline{\mathrm{Ker}\hspace{0.5mm} A} \end{eqnarray} が成り立つ。
$A$ を掛けたときにゼロベクトルにならないベクトルの全体が $A$ の台 (support) である。 一方、 $A$ を掛けたときにゼロベクトルになるベクトルの全体が $A$ の核 (kernel) である。 よって、$A$ の台は $A$ の核の補集合である。 すなわち、 \begin{eqnarray} \mathrm{supp}(A) = \overline{\mathrm{Ker}\hspace{0.5mm} A} \end{eqnarray} が成り立つ。