「分散 = 二乗平均 - 平均の二乗」の証明
分散 = 二乗平均 - 平均の二乗
データの分散 $\sigma^{2}$ と 平均 $\overline{x}$ 、および二乗平均 $\overline{x^2}$ の間には次の関係がある。
すなわち、
\begin{eqnarray}
\sigma^{2} = \overline{x^2} - (\overline{x})^2
\end{eqnarray}
が成立する。
証明
総数 $n$ のデータ $\{x_{1}, x_{2},\cdots,x_{n}\} $ に対して、
平均 $\overline{x}$、二乗平均 $\overline{x^2}$、分散 $\sigma^2$ はそれぞれ
\begin{eqnarray}
\overline{x} &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}
\\
\overline{x^2} &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2
\\
\sigma^{2} &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i}- \overline{x})^2
\\
\tag{1}
\end{eqnarray}
と定義される。
分散を展開すると、
\begin{eqnarray}
\sigma^{2}
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i}- \overline{x})^2
\\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i}^2 - 2\overline{x}x_{i} + (\overline{x})^2)
\\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_{i}^2
- \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}2\overline{x}x_{i}
\\
&&+ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\overline{x})^2
\end{eqnarray}
である。
$(1)$ より、
右辺の第一項は、二乗平均の定義そのものであるので、
\begin{eqnarray}
\sigma^{2}
&=& \overline{x^2}
- \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}2\overline{x}x_{i} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\overline{x})^2
\end{eqnarray}
と表される。
また、
第二項は、平均の定義
$(1)$ から
\begin{eqnarray}
- \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 2\overline{x}x_{i}
&=& - 2\overline{x}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}
\\
&=& - 2(\overline{x})^2
\end{eqnarray}
であるので、
\begin{eqnarray}
\sigma^{2}
&=& \overline{x^2} - 2(\overline{x})^2 + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\overline{x})^2
\tag{2}
\end{eqnarray}
が成立する。
ここで、
$$\sum_{i=1}^{n} 1 = n$$ に注意すると、
$(2)$ の第三項が
\begin{eqnarray}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\overline{x})^2
&=& \frac{1}{n}(\overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n}1
\\
&=& (\overline{x})^2
\end{eqnarray}
と表せることから、
\begin{eqnarray}
\sigma^{2}
&=& \overline{x^2}- 2(\overline{x})^2 + (\overline{x})^2
\\
&=& \overline{x^2}- (\overline{x})^2
\end{eqnarray}
が成り立つことが分かる。