チェビシェフの不等式とは？

	目次
-	データに対するチェビシェフの不等式
-	補足
-	確率論におけるチェビシェフの不等式

データに対するチェビシェフの不等式

総数 $n$ のデータ $\{x_{1}, x_{2},\cdots,x_{n}\}$ の平均と標準偏差をそれぞれ $\overline{x}$, $s$ とする。このとき、

を満たすデータの数は、

より少ない。ここで $\lambda$ は $\lambda>1$ を満たす任意の数とする。この関係をチェビシェフの不等式 (Chebyshev inequality) と呼ぶ

定性的な説明
下のグラフはサンプル数 $n=2000$ のデータのヒストグラムであり、平均と標準偏差はそれぞれ

である。

また、$\overline{x} + 2s$ より大きな値のデータと $\overline{x} - 2s$ より小さな値のデータ (図の矢印の領域に含まれるデータ)が全部で $89$ 個であるという。すなわち、

$$ \tag{0} $$ を満たすデータの総数が $89$ であるという。
この結果は $\lambda= 2$ の場合のチェビシェフの不等式を満たす。チェビシェフの不等式に依れば、 $(0)$ を満たすデータの総数は

以下ではなくてならない。$89$ という数は不等式の範囲に収まる。
この例から分かるように、チェビシェフの不等式は平均から離れた両端にあるデータの総数の上限を与える。この上限はデータの特性に依存しない、すなわち、どのようなデータに対しても存在する。

証明
標準偏差の定義より、$s^2$ は、

である。右辺を $|x_{i} - \overline{x}| > \lambda s$ を満たす項と、 $|x_{i} - \overline{x}| \leq \lambda s$ を満たす項に分けて、

$$ \tag{1} $$ と表す。 $(1)$ の右辺の一つ目の総和では、全ての項で $|x_{i} - \overline{x}| > \lambda s$ が満たされるので、

も満たされる。ゆえに

$$ \tag{2} $$ が成り立つ。また、$(1)$ の右辺の二つ目の総和では、各項が正であることから、

$$ \tag{3} $$ が成り立つ。以上の $(1) (2) (3)$ から

が成り立つ。 $\lambda^2 s^2$ は正の定数であるので、この数で両辺を割ると、

を得る。右辺は $|x_{i} - \overline{x}| > \lambda s$ を満たすデータの総数を表すので、次の結論を得る。すなわち、

「 $ |x_{i}-\overline{x} | > \lambda s $ を満たすデータの総数は、$\frac{n}{\lambda^2}$ より少ない。」

補足
$\lambda = 3$ の場合、チェビシェフの不等式は、

「 $ |x_{i}-\overline{x} | > 3 s $ を満たすデータの総数は、$\frac{n}{9}$ より少ない。」
と言い表される。
これは、平均値 $\overline{x}$ から標準偏差の 3 倍よりも離れたデータの総数が、全体の $1/9$ よりも少ないことを意味する。

確率論におけるチェビシェフの不等式

確率変数 $X$ の期待値と分散をそれぞれ $E(X)$ と $V(X)$ と表し、 $\lambda$ を $1$ より大きな任意の数とする。このとき、確率変数と期待値との差の絶対値