平面上への投影点 (垂線の足) の求め方 ～ 公式と具体例 ～
| 目次 | |
|---|---|
| - | 平面上への投影点 (公式) |
| - | 具体例 |
平面上への投影点 (公式)
3次元空間内の点 $U$ の座標値を $\mathbf{u}$ とする。
また平面 $P$ の法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とし、
符号付き距離を $h$ とする。
すなわち、平面 $P$ の方程式が
このとき、点 $U$ の平面 $P$ 上への投影点(垂線の足)の位置 $\mathbf{u}_{P}$ は、
解説
点 $U$ から平面 $P$ に下した垂線の足 $\mathbf{u}_{P}$ は、 $\mathbf{u}$ から見て法線方向に位置する (下図)。
したがって、
$ \mathbf{u}_{P} $ は
$P$ の法線ベクトル $\mathbf{n}$ を使って、
$$
\tag{1}
$$
と表すことが出来る。
ここで、$c$ は $\mathbf{u}$ と $\mathbf{u}_{P}$ がどのくらい離れているかを表す定数である。
$c$ は
$(1)$ から、
を満たす。
ここで、法線ベクトルが規格化されていること ($\| \mathbf{n} \| = 1$) を用いた。
これより、$c$ は
と求まる。
ところで、 $\mathbf{u}_{P}$ は平面上の点の位置であるので、 $P$ の平面の方程式を満たす。 すなわち、
が成り立つ。
これより、
と表せる。
これを $(1)$ に代入すると、
と求まる。
点 $U$ から平面 $P$ に下した垂線の足 $\mathbf{u}_{P}$ は、 $\mathbf{u}$ から見て法線方向に位置する (下図)。
ところで、 $\mathbf{u}_{P}$ は平面上の点の位置であるので、 $P$ の平面の方程式を満たす。 すなわち、
具体例:
座標値が $(3,2,4)$ の点 $U$ の平面
解答例
図で表せばわかるように明らかに投影点の座標は $(1,2,4)$ であるが、 それを公式を用いて確かめてみる。
$U$ の座標値は、
である。
平面 $x=1$ の法線ベクトル $\mathbf{n}$
と符号付距離 $h$ はそれぞれ
である。
したがって、
であるので、
公式より、
投影点の位置 $\mathbf{u}_{P}$ は
と求まる。
図で表せばわかるように明らかに投影点の座標は $(1,2,4)$ であるが、 それを公式を用いて確かめてみる。