極座標 による回転 (Rotation) の表現
ベクトル場 $\mathbf{E}$ の回転 $\nabla \times \mathbf{E}$ を極座標系 $(r, \theta, \phi)$ で表すと、
である。
ここで $(E_{r}, E_{\theta}, E_{\phi})$ は、
ベクトル $\mathbf{E}$ の極座標系による表現である。
また、
$\{\mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\theta}, \mathbf{e}_{\phi} \}$ は極座標の基底ベクトルである。
証明
準備
ベクトル場 $\mathbf{E}$ の回転の定義は、
である。
ここで $E_{x}, E_{y}, E_{z}$ はそれぞれ $\mathbf{E}$ の
$x, y, z$ 成分である。
この表現を出発点とし、
$\mathbf{E}$ の回転の極座標系による表現を求める。
各成分 $E_{x}, E_{y}, E_{z}$ は
極座標の関数として表されているものとする。
すなわち、
とする。
デカルト座標 $(x,y,z)$ と極座標 $(r, \theta, \phi)$ の間には、
の関係があり、
これより 、
が成り立つ。
このように極座標はデカルト座標の関数であるので、
極座標の関数 $E_{x}, E_{y}, E_{y}$ は、
その極座標がデカルト座標の関数であるという合成関数である。
すなわち、
と表される合成関数である。
したがって、
合成関数の微分の連鎖率(チェーンルール)を用いると、
$(1)$ に含まれる微分のそれぞれは、
と表される。
これより回転は、
と表される。
よって、
回転を極座標で表すためには、
ベクトル $\mathbf{E}$ のデカルト座標成分 $E_{x}, E_{y}, E_{z}$
と極座標成分の関係を求める必要がある。
ベクトル場 $\mathbf{E}$ の極座標による表現
デカルト座標の基底ベクトル(単位ベクトル)を
$\{ \mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z} \}$
とすると、
ベクトル場 $\mathbf{E}$ は、
と表される。
一方で
極座標の基底ベクトル(単位ベクトル)を
$\{ \mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\theta}, \mathbf{e}_{\phi} \}$ とし、
$\mathbf{E}$ の極座標成分を
$E_{r}, E_{\theta}, E_{\phi}$ と表すことにすると、
$\mathbf{E}$ は、
と表される。
前者は $\mathbf{E}$ のデカルト座標系による表現であり、
後者は 極座標系による表現である。
これらの対応関係は、
互いの基底ベクトルの間にある関係
から求められる (この関係の証明は「
極座標系の基底ベクトル」を参考)。
実際、
この関係式を
$\mathbf{E}$ の極座標による表現に代入すると、
と表されるが、
デカルト座標系の基底ベクトルが
正規直交基底を成すこと
を用いると、
$(4)$ から
が求まり、
$(5)$ から
が求まるので、
これらより、
をうる。
これが $\mathbf{E}$ のデカルト成分と成分との間の対応関係である。
回転の計算
$(6)$ を $(3)$ に代入すると、
となる。
この式に含まれる偏微分は $(2)$ から
と求められるので
(これらの計算方法に関しては
ページ下部の補足を参考)、
これらを代入すると、
となる。
偏微分を実行し、
整理すると、
となる。
ここに、
極座標系の基底ベクトルとデカルト座標系の基底ベクトルの関係
を代入し、
整理すると、
を得る。
補足
上の議論で使った偏微分の計算を行う。
$(2)$ より、
であるので、
であることが分かる。
また、
$(2)$ より、
が示されるので、
と置き、
であることを用いると、
合成関数の微分により、
であることが分かる。
途中の計算で $\sin\theta \geq 0$ (なぜなら $0 \leq \theta \leq \pi$) であることを用いた。
同様の計算により、
が示される。
$\phi$ の微分については
$(2)$ より、
が示されるので、
逆三角関数の微分が
であることを用いると、
となる。