磁場中の荷電粒子の運動とサイクロトロン振動数

	目次
-	運動方程式の導出
-	運動方程式を解く
-	まとめ: サイクロトロン振動数

各成分の運動方程式の導出

質量 $m$ の荷電粒子が定磁場中を運動している。粒子の位置を $\mathbf{r}(t)$ と表すとき、運動方程式は、

である (電場なしのローレンツ力)。　ここで、 $q$ は粒子の持つ電荷量であり、 $\mathbf{B}$ は一様な磁場である。また、 $\dot{\mathbf{r}}(t)$ は粒子の位置の一階の時間微分(すなわち速度)であり、 $\ddot{\mathbf{r}}(t)$ は二階の時間微分(すなわち加速度)である。
位置 $\mathbf{r}(t)$ の各成分を

と表すことにし、 $3$ 次元空間の基底ベクトルを

と定義すると、位置と速度と加速度は、それぞれ

と表される。これを用いると、運動方程式は、

と表される。
ここで議論を簡潔にするため、一様磁場 $\mathbf{B}$ が $Z$ 方向を向いているものとする。すなわち、

であるとする。この場合、運動方程式は、

である。
さて、基底ベクトル同士の外積が

であることを用いると、運動方程式は、

と表される。この式を成分で表示すると、

となる。
このように一様な磁場中を運動する荷電粒子の運動方程式は、連立線形微分方程式になる。粒子の位置と速度が時刻 $t=0$ において、

であったという初期条件を課すと、この微分方程式は以下のように解かれる。

運動方程式を解く

各成分の運動方程式 $(1)$ を時間について積分した式は、

である。　ここで $C_{x}, C_{y}, C_{z}$ は時間に依らない定数であるが、時刻 $t=0$ の場合を考えると、初期条件 $(2)$ によって、

と求まる。これらを代入することにより、

を得る。
これらを運動方程式 $(1)$ に代入すると、

となる。これより、 $x(t)$ と $y(t)$ は、微分方程式

に従うことが分かる。
$(4)$ の一般解は、これを満たす一つの解(特解)と右辺を $0$ とした微分方程式

の一般解との和で与えられることが知られている。そこで、それらの解を求めると次のようになる。
まず、 $(4)$ を満たす一つの解は、

である ($(4)$ に実際に代入すると確かめられる。また $(4)$ のように右辺が定数になる場合には、特解が定数になることが知られている )。
一方、微分方程式 $(5)$ の一般解は、

であることが知られている。ここで、 $D_{x}, E_{x}, D_{y}, E_{y}$ は定数であり、

である。
したがって、微分方程式 $(3)$ の一般解は、

である。定数 $D_{x}, E_{x}, D_{y}, E_{y}$ は、初期条件 $(2)$ により、次のように求まる。
まず $(7)$ において $t=0$ とすると、 $(2)$ により、

となる。また、 $(7)$ を時間で微分し、

とした上で、 $t=0$ とすることにより、 $(2)$ から

となることが分かる。
以上のように求まった $D_{x}, E_{x}, D_{y}, E_{y}$ を $(7)$ に代入することにより、 $x(t)$ と $y(t)$ の解

を得る。
この結果から

が成り立つ。これは、中心が $(\frac{v_{y}}{\omega}, - \frac{v_{x}}{\omega})$ であり、半径が $\frac{1}{\omega} \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} $ である円の方程式であるので、 $x(t), y(t)$ の描く軌道は円運動であることが分かる。
また、 $(8)$ を時間微分すると、