ド・モアブルの定理   ～ 証明と例題 ～  

  任意の整数 $n$ に対して、 次の恒等式が成立する。 $$ \tag{*} $$ この関係をド・モアブルの定理 (De Moivre's theorem) と呼ぶ。   任意の整数 $n$ に対する証明を次の 3 つに分けて行う。

  (1)   $n$ が正の整数の場合
  (2)   $n = 0$ の場合
  (3)   $n$ が負の整数の場合


  (1)   $n$ が正の整数の場合

  数学的帰納法によって証明する。
  $n=1$ の場合、明らかに $(*)$ は成立する。
  $n=k$ ($k$ は正の整数) の場合に $(*)$ が成立すると仮定する。すなわち を仮定する。このとき 複素数の積の定義から と表せるが、 加法定理によって、 それぞれの項に対して が成立するので、 を得る。すなわち $n=k+1$ に対しても $(*)$ が成立する。
  以上から、$n$ が正の整数の場合に $(*)$ が成立する。


  (2)   $n = 0$ の場合 であり、 であるので、$(*)$ が成立する。


  (3)   $n$ が負の整数の場合 と表すと、$-n$ が正の整数であることから、$(1)$ により、 右辺の分母が を満たす。 ゆえに三角関数の諸性質を用いると、 が成立する。

  以上から、 任意の整数 $n$ に対して、 が成り立つ。   次の関係 を満たす複素数 $z$ を求めよ。

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  ド・モアブルの定理は、オイラーの公式 から出発すると、次のようにただちに証明される。