コーシー・リーマンの関係式とは？ ～証明・具体例～
| 必要十分条件 | |
|---|---|
| - | 正則関数 $\hspace{1mm} \Longrightarrow \hspace{1mm}$ コーシー・リーマンの関係式 |
| - | 正則関数 $\hspace{1mm} \Longleftarrow \hspace{1mm}$ コーシー・リーマンの関係式 |
| 具体例 | |
|---|---|
| - | 満たす例・満たさない例 |
正則関数 $\hspace{1mm} \Longrightarrow \hspace{1mm}$ コーシー・リーマンの関係式
関数 $f(z)$
が領域 $D$ で正則な $C^{1}$ 級関数 であるとする。
このとき、
$D$ の任意の点 $z=x+iy$ において、
$f(z)$ の実数部分 $u(x,y)$ と虚数部分 $v(x,y)$ には、
次の関係式
証明
領域 $D$ 内の点 $z$ に対して、 $h$ を $z+h \in D$ を満たす実数であるとする。
を実数部分と虚数部分に分けると、
$$
\tag{1}
$$
となる。
$f(z)$ が正則であるので、 $(1)$ の左辺は $h \rightarrow 0$ とすると極限値 $f'(z)$ に収束する。 したがって、その実数部分である
と虚数部分である
は収束する。
ゆえに、
$$
\tag{2}
$$
が成り立つ。
続いて、 領域 $D$ 内の点 $z$ に対して、 $k$ を $z+ik \in D$ を満たす実数であるとする。
を実数部分と虚数部分に分けると、
$$
\tag{3}
$$
となる。
$f(z)$ が正則であるので、 $(3)$ の左辺は $k \rightarrow 0$ とすると極限値 $f'(z)$ に収束する。 したがって、その実数部分である
と虚数部分である
は収束する。
ゆえに、
$$
\tag{4}
$$
が成り立つ。
$(2)$ と $(4)$ より、
が成り立つ。また、$f$ が $C^{1}$ 級関数であるので、
$f'(z)$ が連続関数である。このことと
$(2)$ と $(4)$ から
$
\frac{\partial u}{\partial x},
\frac{\partial u}{\partial y},
\frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial v}{\partial y}
$
は連続関数である。
領域 $D$ 内の点 $z$ に対して、 $h$ を $z+h \in D$ を満たす実数であるとする。
$f(z)$ が正則であるので、 $(1)$ の左辺は $h \rightarrow 0$ とすると極限値 $f'(z)$ に収束する。 したがって、その実数部分である
続いて、 領域 $D$ 内の点 $z$ に対して、 $k$ を $z+ik \in D$ を満たす実数であるとする。
$f(z)$ が正則であるので、 $(3)$ の左辺は $k \rightarrow 0$ とすると極限値 $f'(z)$ に収束する。 したがって、その実数部分である
$(2)$ と $(4)$ より、
正則関数 $\hspace{1mm} \Longleftarrow \hspace{1mm}$ コーシー・リーマンの関係式
領域 $D$ の任意の点 $z=x+iy$ において、
$f(z)$ の実数部分 $u(x,y)$ と虚数部分 $v(x,y)$ に対して、
コーシー・リーマンの関係式
証明
領域 $D$ 内の二点を
と表す。
$f(z)$ の実数部分と虚数部分はそれぞれ
であり、
$f( z' )$ の実数部分と虚数部分はそれぞれ
と表される二変数関数である。
仮定より
$
\frac{\partial u}{\partial x},
\frac{\partial u}{\partial y},
\frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial v}{\partial y}
$
が連続
($u$ と $v$ が $C^{1}$ 級関数)
であるので、
$u$ と $v$ に対して平均値の定理が適用できる。
したがって、
を満たす $\theta_{u}$
と $\theta_{v} $ が存在する。
コーシー・リーマンの関係式を用いると、
と表される。
これらより、
が成り立つ。
これと三角不等式を用いると、
が成り立つ。
右辺の各項に着目する。 仮定より $ \frac{\partial u}{\partial x} $ と $ \frac{\partial v}{\partial x} $ は連続であるので、 $z' \rightarrow z$ の極限において (すなわち、 $h \rightarrow 0$ と $k \rightarrow 0$ において)、
が成り立つ。
したがって、
$z' \rightarrow z$ の極限において
である。
これより、
が成り立つ。
右辺は連続関数であるので、$f'(z)$ が極限を持ち、なおかつ、
それが連続関数であることがこの式から理解される。
すなわち、
$f'(z)$ は正則関数かつ $C^{1}$ 級の関数である。
領域 $D$ 内の二点を
これと三角不等式を用いると、
右辺の各項に着目する。 仮定より $ \frac{\partial u}{\partial x} $ と $ \frac{\partial v}{\partial x} $ は連続であるので、 $z' \rightarrow z$ の極限において (すなわち、 $h \rightarrow 0$ と $k \rightarrow 0$ において)、
具体例:
次の関数が正則関数であるかどうかをコーシー・リーマンの関係式を用いて確かめよ。
解答例
● $f_{1}$ について:
の実部 $u$ と虚部 $v$ をそれぞれ
であるので、
を得る。これらより、コーシーリーマンの関係式
が成り立つので、$f_{1}$ は正則関数である。
● $f_{2}$ について:
の実部 $u$ と虚部 $v$ はそれぞれ
であるので、
を得る。これらより、
であるので、コーシーリーマンの関係式が成り立たない。
したがって、$f_{2}$ は正則関数ではない。
● $f_{1}$ について:
● $f_{2}$ について: