特異値分解と極分解

 極分解から特異値分解

  $n$ 次正方行列 $A$ は、直交行列 $U$ と半正定値行列 $P$ によって極分解できる。 すなわち、 $$A = U P$$ と表せる。
  $P$ の固有値を $p_{i}$ $(i=0,1,\cdots,n)$ とし、固有ベクトルを $\mathbf{v}_{i}$ とすると、 $P$ が半正定値行列であるために、 $p_{i}\geq 0$ である。 また、 $\{ \mathbf{v}_{i} \}$ が正規直交系を成すように選択することができる。
  $n$ 次直交行列 $V$ を $V=(\mathbf{v}_{i} \cdots \mathbf{v}_{n})$ によって定義すると、 $V$ は直交行列であり、$P$ は $V$ によって対角化される。すなわち $$ \Lambda = V^{T} P V $$ である。ここで $\Lambda$ は固有値 $p_{i}$ を対角成分に持つ対角行列である。
  この式と $V$ が直交行列であること ($V V^{T} = I$) によって、$A$ は $$A = UVV^{T} PVV^{T} = UV \Lambda V^{T} $$ と表せる。
  ここで $UV=W$ とすると、$W$ は直交行列であり、 $$A=W\Lambda V^{T}$$ と表せる。これは $A$ の特異値分解である。
最終更新 2015年 2月 1日

  特異値分解から極分解

  $n \times n$ の正方行列 $A$ は、直交行列 $W,V$ によって特異値分解できる。
$$ A= W \Lambda V^{T} $$ ここでは、$\Lambda$ は非対角成分が 0 であり、対角成分が 0 以上の行列である。 $V^{T}V=I$ であるので $$A= W V^{T} V \Lambda V^{T}$$ と表せる。ここで $P=V \Lambda V^{T}$と定義すると、$P$ は任意のベクトル $\xi$ に対して $(\xi, P\xi) \geq 0$ であることから、半正定値行列である。また $W V^{T}=U$ とすると、$U$ は直交行列であり、 $$A= U P$$ と表される。これは $A$ の極分解である。










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