t分布の分散

  $X$ の確率密度関数 $p(x)$ が自由度 $n$ のt分布に従うとする。すなわち、

t分布の分散00

であるとする。ここで、$B( \hspace{1mm}\cdot\hspace{1mm},\hspace{1mm}\cdot\hspace{1mm})$ は、ベータ関数である。
  このとき、$X$ の分散 $V(X)$ は、

t分布の分散01

である。ただし、$n>2$ とする。
最終更新 2015年 12月12日


  証明

  一般に分散は二乗期待値と期待値の二乗の差である。

t分布の分散02

t分布の期待値が、

t分布の分散03

であるので、$(1)$ より、

t分布の分散04

が成立する。 よって、二乗期待値 $E(X^2)$ を求めれば、分散 $V(X)$ が求まる。
  $E(X^2)$ は、t分布の定義 $(*)$ により、

t分布の分散05

である。
  右辺の積分は、

t分布の分散06

と表せるが、第一項の積分は、$x=-s$ と置換すると、

t分布の分散07

であることから、

t分布の分散08

である。よって、$(4)(5)$ から、

t分布の分散09

であるので、二乗期待値 $(3)$ は、

t分布の分散10

と表せる。
  右辺の積分の積分変数を

t分布の分散11
と置換すると、

t分布の分散12

であることから、

t分布の分散13

と表せる。
  さらに、ベータ関数の定義により、

t分布の分散14
であるから、

t分布の分散15

となる。
  よって、二乗期待値 $(6)$ は、

t分布の分散16

と表せる。
  ここで、ベータ関数の満たす性質

t分布の分散17

を、$s=\frac{n}{2}-1$, $t=\frac{1}{2}$ として用いると、

t分布の分散18

が成立するので、$(7)$ は、

t分布の分散19

と表せる。
  このようにして、二乗期待値 $E(X^2)$ が得られたので、t分布の分散 $V(X)$ は、$(2) (8)$ から、

t分布の分散01
である。









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