正規分布の最尤推定

  正規分布 を定義するパラメータ $\mu$ と $\sigma^2$ の最尤推定量は、 それぞれ 観測値 $\{x_{1}^{M}, x_{2}^{M}, \cdots, x_{n}^{M} \}$ の平均値と分散である。 すなわち、 である。 ここで、 $ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{M} $ とした。

  解説

正規分布のパラメータ推定
  母集団の確率密度関数が正規分布 に従うことは分かっているが、 パラメータ $\mu$ と $\sigma^2$ の値が何であるかは分かっていない。 そういう状態で $n$ 回の観測を行ったところ、 観測値 $\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \}$ のそれぞれが微小な区間 の中に収まっていたとする。 ここで、 $\Delta x_{i}^{M}$ は、 微小な値である。
  この結果を使って、 パラメータ $\mu$ と $\sigma^2$ の値が何であったかを推定したい。 これを正規分布のパラメータ推定という。
  パラメータ推定には、 様々な方法があるが、 正規分布の最尤推定では、 尤度と呼ばれる次の関数 が最大になるようにパラメータ推定を行う。 すなわち、 観測結果 $(2)$ から計算される尤度 $L$ が最大になる $\mu$ と $\sigma^2$ を求め、 それらを推定値とする。   尤度と確率の関係をここで述べる。
  観測結果全体が $(2)$ となる確率を と表し、 各観測の結果が となる確率を $\mathrm{Pr}(x_{i}^{M})$ と表すことにする。 これは、 確率密度関数 $(1)$ の積分によって、 と表される。
  各観測が独立に行われたとすると、 が成立するので、 $(4)$ は、 と表される。
  この式では、 右辺の積分の被積分関数が尤度 $(3)$ になっている。 ところで、 一般に積分区間内で被積分関数が大きな値をとれば、 積分の値も大きくなるので、 次のことが分かる。 すなわち、 尤度が最大になるときに、 確率 $\mathrm{Pr}( x_{1}^{M}, \hspace{1mm} x_{2}^{M}, \hspace{1mm}\cdots, \hspace{1mm}x_{n}^{M} ) $ も最大になる。
  よって、 尤度を最大にするパラメータを求めれば、 観測値全体が $(2)$ となる確率が最大になる場合の母集団分布が求められる。   尤度を最大にする $\mu$ と $\sigma^2$ を求める。
  尤度 $(3)$ を確率密度関数 $(1)$ によって表すと、 である。
  $L$ が最大になる $\mu$ と $\sigma^2$ は、 $L$ を $\mu$ と $\sigma^2$ で微分して $0$ になる条件 から求められる。 ただし、 最尤法では、 尤度が を満たすことから、 $\log L$ を $\mu$ と $\sigma$ で微分して、 $0$ になる条件 から求められる(これについては、 「$ f(x)>0$ のとき、 $\log f(x)$ が $x=x_m$ で最大になるならば、 $f(x)$ もまた $x=x_m$ で最大になる」 を参考)。
  $(5)$ から尤度の対数は、 と表されるので、 各偏微分が となることから、 条件 $(6)$ は、 と表される。
  第1式から $\mu$ の値として、 を得る。 ここで、 $\overline{x}$ は 観測値 $(2)$ の平均値である。 この結果を第2式に代入すると、 を得る。 ここで、$v$ は、観測値 $(2)$ の分散である。
  このように条件 $(6)$ から $\mu$ と $\sigma^2$ の値が得られたが、 この値において、 $\log L$ が最大になるかどうかはまだ分からない。 なぜなら、 条件 $(6)$ から得られる結論には、 一般に、 関数が最小になる場合や極小/極大になる場合、 および、 平らになる場合も含まれるからである。
  そこで以下では、 $\mu$ と $\sigma^2$ がそれぞれ $(8)$ と $(9)$ のときに、 $\log L$ が最大になることを証明する。   $(7)$ から $\log L$ の $\mu$ についての微分は、 であるが、 この関数は、 任意の $\sigma^2$ に対して、 $\mu$ についての単調減少関数であり、 $\mu = \overline{x}$ のときのみ $0$ となる次のような増減表を持つ関数である。 よって、 $\log L$ は、 $\sigma^2$ がどんな値であっても、 $\mu = \overline{x}$ のときに最大になる。
  そこで、 $\mu = \overline{x}$ とし、 $\log L$ の $\sigma^2$ についての振る舞いを調べると、 であることから、 $\frac{\partial }{\partial \sigma^2} \log L$ は $\sigma^2$ の単調減少関数であり、 $\sigma^{2} = v$ のときにのみ $0$ となるので、 次の増減表が作られる。 よって、 $\log L$ は、 $\sigma^2 = v$ のときに最大になる。
  以上から、 $\log L$ は、 $\mu= \overline{x}$ かつ $\sigma^2 = v$ のときに最大となる。   $\log L$ が $\mu= \overline{x}$ かつ $\sigma^2 = v$ のときに最大になることから、 $L$ そのものも、このときに最大になる。 言い換えると、 正規分布の尤度 $L$ を 最大にするパラメータ $\mu$ と $\sigma^2$ の値は、 それぞれ観測値の平均値と分散である。 すなわち、 である。