F分布の分散

  $X$ の確率密度関数 $p(x)$ が自由度 $(m,n)$ のF分布に従うとする。すなわち、

F分布の分散00

であるとする。ここで、$B( \hspace{1mm}\cdot\hspace{1mm},\hspace{1mm}\cdot\hspace{1mm})$ は、ベータ関数である。
  このとき、$X$ の分散 $V(X)$ は、

F分布の分散01

である。ただし、$n>4$ とする。
最終更新 2015年 11月26日


  証明

  一般に分散は二乗期待値と期待値の二乗の差である。

F分布の分散02

F分布の期待値が、

F分布の分散03

であるので、$(1)$ より、

F分布の分散04

が成立する。 よって、二乗期待値 $E(X^2)$ を求めれば、分散 $V(X)$ が求まる。
  $E(X^2)$ は、F分布の定義 $(*)$ により、

F分布の分散05

である。 ここで

F分布の分散06

と置くと、

F分布の分散07

であるので、$(1)$ は、

F分布の分散08

と表せる。
  右辺の積分は、ベータ関数の定義により、

F分布の分散09

であるので、

F分布の分散10

と表せる。
  ここで、 ベータ関数とガンマ関数の間に成立する関係

F分布の分散11

を用いると、

F分布の分散12

と表せる。
  また、ガンマ関数が階乗の一般化であること

F分布の分散13

を用いると、

F分布の分散14

と表せるが、再び $(3)$ を用いると、

F分布の分散15

である。したがって、$(2)$ から、

F分布の分散16

を得る。









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