F分布の期待値

  $X$ の確率密度関数 $p(x)$ が自由度 $(m,n)$ のF分布に従うとする。すなわち、

F分布の期待値00

であるとする。ここで、$B( \hspace{1mm}\cdot\hspace{1mm},\hspace{1mm}\cdot\hspace{1mm})$ は、ベータ関数である。
  このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ は、

F分布の期待値01

である。ただし、$n>2$ とする。


最終更新 2015年 11月24日


  証明

  期待値とF分布の定義 $(*)$ により、

F分布の期待値02

である。ここで

F分布の期待値03

と置くと、

F分布の期待値04

であるので、$(1)$ は、

F分布の期待値05

と表せる。
  右辺の積分は、ベータ関数の定義により、

F分布の期待値06

である。 よって、

F分布の期待値07

である。
  ここで、 ベータ関数とガンマ関数の間に成立する関係

F分布の期待値08

を用いると、

F分布の期待値09

と表せる。
  また、ガンマ関数が階乗の一般化であること

F分布の期待値10

を用いると、

F分布の期待値10

となる。最後にもう一度 $(2)$ を用いると、

F分布の期待値12

である。




F分布の分散の求め方





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