スカラー四重積の恒等式

  $\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$,$\mathbf{c}$,$\mathbf{d}$ を3次元ベクトルとするとき、 次の量をスカラー四重積 (scalar quadruple product) という。

スカラー四重積00

スカラー四重積は次の恒等式を満たす。

スカラー四重積01

最終更新 2016年 8月16日


  証明

  内積の定義より

スカラー四重積02

である。 一般に外積 $\mathbf{p} \times \mathbf{q}$ の第 $i$ 成分がレビチビタの記号を使って $ (\mathbf{p} \times \mathbf{q} )_{i} = \sum_{j,k=0}^{3} \epsilon_{ijk} p_{j} q_{k} $ と表せることから、上の式は、

スカラー四重積03

と表せる。
  Levi-Civita の記号が恒等式

スカラー四重積04

満たすことから (証明はレビチビタの記号が満たす性質を参考)、

スカラー四重積05

と表せる。
  クロネッカーのデルタの定義

スカラー四重積06

に注意しながら、各項を書き換えると、第一項は

スカラー四重積07

であり、第二項は

スカラー四重積08

である。よって、スカラー四重積は、

スカラー四重積09

と表せる。
  右辺の第一項は内積の定義によって $\sum_{j,k=1}^{3} a_{j} c_{j}b_{k} d_{k} = ( \mathbf{a}, \mathbf{c}) ( \mathbf{b}, \mathbf{d})$ であり、 第二項は $\sum_{j,k=1}^{3} a_{j}d_{j} b_{k} c_{k} = ( \mathbf{a}, \mathbf{d}) ( \mathbf{b}, \mathbf{c})$ である。 以上より、

スカラー四重積10

を得る。







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