3点を通る平面の求め方

  3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式は、

3点を通る平面00

である。 ここで、$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ は、3点 $A$, $B$, $C$ の位置ベクトルであり、$\mathbf{x}$ は、平面上の任意の点である。
最終更新 2016年 12月4日


    証明

  3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式

3点を通る平面01

と置く。 ここで、$\mathbf{n}$ は法線ベクトルであり、 $h$ は符号付き距離である。
  点 $A, B, C$ の各位置ベクトルを $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ とすると、 これらが $(1)$ の平面上にあることは、

3点を通る平面02

と表される。 これより、法線ベクトル $\mathbf{n}$ は、

3点を通る平面03
を満たす。
3点を通る平面の図00

  $(3)$ は、 $\mathbf{n}$ が $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ と $ \mathbf{c}-\mathbf{a}$ の両方に直交するベクトルであることを表している(図)。 従って、$\mathbf{n}$ は $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ と $ \mathbf{c}-\mathbf{a}$ の外積の方向を向く。すなわち、

3点を通る平面04

と表される。 ここで、$C$ はベクトルの大きさを決める定数である。
  $(2)$ と $(4)$ から、符号付き距離 $h$ は、

3点を通る平面05
と表される。
  $(4)$ と $(5)$ によって、平面の方程式 $(1)$ は、

3点を通る平面06
と表される。








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