正規行列はユニタリー行列によって対角化できることの証明   - 理数アラカルト -

  正規行列の対角化

  任意の正規行列 $A$ は、対角化可能である。すなわち、 を満たす対角行列 $\Lambda$ とユニタリー行列 $U$ が存在する。

  証明  

  任意の正規行列が対角化可能であることを、帰納法によって証明する。

  $A$ を $n$ 次正規行列とする。 $n=1$ の場合、どんな行列も対角行列であることから明らかである。
  $n \geq 2$ の場合、$n-1$ 次正規行列が対角化可能であることを仮定し、 $n$ 次正規行列 $A$ が対角化可能であることを示す。
  $A$ の固有値を $\lambda_{1}$ とし、大きさ $1$ の固有ベクトルを $\mathbf{u}_{1}$ とする。すなわち、 とする。
  $\mathbf{u}_{1}$ を含む完全正規直交系を と表す(一般に、内積の定義されたベクトル空間では、 $0$ でない任意のベクトルを含む正規直交基底が存在する)。 正規直交系を成すので、 を満たす。ここで $i,j = 1,2,\cdots,n$ であり、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタ である。
  また、基本ベクトル $\mathbf{e}_{1}$, $\mathbf{e}_{2}$, $\cdots$, $\mathbf{e}_{n}$ を と定義すると、これらも完全正規直交系を成す。すなわち、 が成立する。
  $(1)$ と $(3)$ によって、行列 $U_{n}$ を と定義すると、$(2)$ と $(4)$ より、$U_{n}$ はユニタリー行列であることが示される。つまり、 が成立する。また $U_{n}$ の定義 $(5)$ から が成立する。ここで $i=1,2,\cdots, n$ である。
  これらの関係によって、 ベクトル $\mathbf{e}_{1}$ が行列 $U_{n}^{\dagger} A U_{n}$ の固有値 $\lambda_{1}$ の固有ベクトルであることが示される。 すなわち、 が成立する。
  $ \mathbf{e}_{1} $ が $(3)$ で定義される基本ベクトルであるので、 $U_{n}^{\dagger} A U_{n}$ が $(7)$ の関係を持つためには、 次の形の行列でなくてはならない。 すなわち、$1$ 列の $2$ 行以降の成分が全て $0$ でなくてはならない。
  ところで、$A$ が正規行列であることから、 が成立する。すなわち、$U_{n}^{\dagger} A U_{n}$ もまた正規行列である。
  ここで、$U_{n}^{\dagger} A U_{n}$ の $1$ 行を $b_{1j}$ と表し、 とし、$(9)$ を表すと、 である。 この関係の $1$ 行 $1$ 列成分は、 である。これより、 である。
  これと $(10)$ から、$U_{n}^{\dagger} A U_{n}$ を と表すことができる。
  ここで、 の部分を $A_{n-1}$ すると、$U_{n}^{\dagger} A U_{n}$ は、 と表せる (ここで点線は、便宜上のものに過ぎない)。 $A_{n-1}$ は、$n-1$ 次の正方行列であり、 $U_{n}^{\dagger} A U_{n}$ が正規行列であることから、 $A_{n-1}$ もまた正規行列である。 すなわち、 が成立する。
  帰納法の仮定により、任意の $n-1$ 次の正規行列は、対角化可能であるとしたので、 $A_{n-1}$ は対角化可能である。よって、 を満たす $n-1$ 次のユニタリー行列 $U_{n-1}$ と対角行列 $\Lambda_{n-1}$ が存在する。
  この $U_{n-1}$ を使って、 を定義すると、 が成立する。同様に $\overline{U_{n}} \hspace{1mm} \overline{U_{n}}^{\dagger} = I$ も成立するので、 $\overline{U_{n}}$ はユニタリー行列である。
  また、$(12)$$(13)$$(14)$ により、 が成立する。
  ここで、右辺に現れた行列を と定義し、$U$ を と定義すると、$(15)$ は、 と表せる。
  ここで、 $\Lambda_{n-1}$ が $n-1$ 次の対角行列であることから、 $\Lambda$ は $n$ 次対角行列である。 一方で、$U_{n} $ と $\overline{U_{n}}$ がユニタリー行列であることから、 $U$ もまたユニタリー行列である。すなわち、 と、$U U^{\dagger} = I $ が成立する。
  以上から、$n$ 次正規行列 $A$ に対し、 $(16)$ を満たすユニタリー行列 $U$ と、対角行列 $\Lambda$ が存在することが示された。

  帰納法により、任意の正規行列 $A$ は対角化可能である。