ニュートン法の定義
ニュートン法とは、関数 $f(x)=0$ の解を数値的に求める方法の一つである。 ある適当な値 $x_{0}$ から計算を開始し、決められた計算を反復することによって、 真の解 $\alpha$ の近似値を与える方法である。
反復の開始点から、 決められた計算によって求められる次の点を第 1 ステップの点 $x_{1}$ とする。 $x_{1}$ を求めた方法と同じ方法によって求められる次の点を第 2 ステップの点 $x_{2}$ とする。 以下同じように、決められた計算を $n$ 回繰り返した結果得られる点を第 $n$ ステップの点 $x_{n}$ とする。
初めに、第 1 ステップの点 $x_{1}$ を計算する方法を述べる。$f(x)$ の $x=x_{0}$ における接線 $L_{0}$ は、 $(x_{0}, f(x_{0}))$ を通過し、傾きが $f'(x_{0})$の 直線なので、
第 2 ステップの点 $x_{2}$ は、第 1 ステップの点 $x_{1}$ から同様の計算によって与えられる。 すなわち、 $f(x)$ の $x=x_{1}$ における接線 $L_{1}$ が $x$ 軸と交差する点が $x_{2}$ である(図)。 同様の議論から
以下同様に、第 $n$ ステップの点 $x_{n}$ は、$f(x)$ の $x=x_{n-1}$ における接線 $L_{n-1}$ が $x$ 軸と交差する点がであり、
上の計算を繰り返し、 決められた条件が満たされたとき(例えばワンステップの差 $|x_{n}-x_{n-1}|$ が許容値よりも小さくなったとき)に計算を停止し、 そのときの値 $x_{n}$ を真の解 $\alpha$ の近似解 とする。
最終更新 2015年 8月 27日