ニュートン法

 ニュートン法の定義

  ニュートン法とは、関数 $f(x)=0$ の解を数値的に求める方法の一つである。 ある適当な値 $x_{0}$ から計算を開始し、決められた計算を反復することによって、 真の解 $\alpha$ の近似値を与える方法である。
ニュートン法イメージ

 反復の開始点から、 決められた計算によって求められる次の点を第 1 ステップの点 $x_{1}$ とする。 $x_{1}$ を求めた方法と同じ方法によって求められる次の点を第 2 ステップの点 $x_{2}$ とする。 以下同じように、決められた計算を $n$ 回繰り返した結果得られる点を第 $n$ ステップの点 $x_{n}$ とする。

  初めに、第 1 ステップの点 $x_{1}$ を計算する方法を述べる。$f(x)$ の $x=x_{0}$ における接線 $L_{0}$ は、 $(x_{0}, f(x_{0}))$ を通過し、傾きが $f'(x_{0})$の 直線なので、

ニュートン法の定義00

と表される。 この接線と $x$ 軸との交点を第 1 ステップの点 $x_{1}$ と定義すると、$x_{1}$ は、 $ 0 - f(x_{0}) = f'(x_{0}) (x_{1}-x_{0}) $ を満たすので、

ニュートン法の定義01

である。
  第 2 ステップの点 $x_{2}$ は、第 1 ステップの点 $x_{1}$ から同様の計算によって与えられる。 すなわち、 $f(x)$ の $x=x_{1}$ における接線 $L_{1}$ が $x$ 軸と交差する点が $x_{2}$ である(図)。 同様の議論から

ニュートン法の定義02

を得る。
  以下同様に、第 $n$ ステップの点 $x_{n}$ は、$f(x)$ の $x=x_{n-1}$ における接線 $L_{n-1}$ が $x$ 軸と交差する点がであり、

ニュートン法の定義03

と表される。このような計算手続きをニュートン法と呼ぶ。
  上の計算を繰り返し、 決められた条件が満たされたとき(例えばワンステップの差 $|x_{n}-x_{n-1}|$ が許容値よりも小さくなったとき)に計算を停止し、 そのときの値 $x_{n}$ を真の解 $\alpha$ の近似解 とする。
最終更新 2015年 8月 27日





ニュートン法が収束するための条件




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