ニュートン法の収束条件

  2 階微分可能な関数 $f(x)$ がある点 $x_{0}$ において

ニュートン法の収束条件00

を満たし、 $x_{0}$ より小さな点 $a$ において、

ニュートン法の収束条件01

を満たすとする。また区間 $[a, x_{0}]$ において $f$ が単調増加で下に凸な関数であるとする。 すなわち、

ニュートン法の収束条件02

を満たすとする。
  このとき

ニュートン法の収束条件03

によって定義される数列 $\{x_{n}\}$ は、区間 $(a, x_{0})$ にある $f(x)=0$ の解に収束する。
最終更新 2015年 8月27日


  証明

  $f$ は微分可能なので、 連続であり、 $f(a)<0$、$f(x_{0})>0$ であるので、 中間値の定理より、

ニュートン法の収束条件04

を満たす $\alpha$ が区間 $(a, x_{0})$ に存在する。
  また、$f$ は単調増加関数であるので、 逆関数が存在する。よって、$\alpha$ は

ニュートン法の収束条件05

と表せる。
  定義 $(5)$ より、$x_{1}$ は、

ニュートン法の収束条件06

であるが、 $(1)$ と $(3)$ から

ニュートン法の収束条件07

が成立する。
  一方 $(4)$ から、任意の$x\in [a, x_{0})$ に対し、

ニュートン法の収束条件08

が成立するので、$f'(x)$ は

ニュートン法の収束条件09

を満たす。 これより、

ニュートン法の収束条件10

が成立するので、$f(x)$ は

ニュートン法の収束条件11

を満たす。
  $x=\alpha$ とすると、$(6)$ より、

ニュートン法の収束条件12

が成立する。
  この不等式と $(8)$ から

ニュートン法の収束条件13

が成立することが分かる。
  この不等式と $(9)$ の不等式をまとめると、

ニュートン法の収束条件14

と表せる。
  同様の論法により $x_{2}$ が

ニュートン法の収束条件15

を満たすことが示される。
  以下、同様の論法を繰り返すことにより、数列 $\{ x_{n} \}$ が

ニュートン法の収束条件16

を満たすことが示される。
  この不等式は、数列 $\{x_{n}\}$ が下に有界な単調減少数列であることを表している。 よって、$\{x_{n}\}$ は収束し、収束値を $\beta$ とする。すなわち、

ニュートン法の収束条件17

とする。
  $(5)$ の両辺に対し、$n\rightarrow \infty$ の極限をとると、

ニュートン法の収束条件18

であるが、$(10)$ から

ニュートン法の収束条件19

が成立する。これより

ニュートン法の収束条件20

である。
  $f$ は逆関数を持つので

ニュートン法の収束条件21

と表せる。 従って、 $(7)$ から

ニュートン法の収束条件22

が成立する。 $(10)$ より、この式は、数列 $\{x_{n}\}$ が $\alpha$ 収束することを表している。 すなわち、

ニュートン法の収束条件23

が成立する。
  以上まとめると、 ニュートン法を定義する数列 $\{ x_{n} \}$ は、 条件 $(1) (2) (3) (4)$ のもとでは、 $f(x)=0$ の解 $\alpha \in (a, x_{0})$ に収束する。




ニュートン法でルート3を求める





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