対数関数の微分

最終更新 2017年 1月28日
  底が $e$ の対数関数 $\log {x}$ の微分は、
対数関数の微分
である $(x > 0)$。

  導出

  対数関数が連続関数であることから、 任意の正の数 $\epsilon'$ に対して、
を満たす正の数 $\delta'$ が存在する。 これより、 任意の正の数 $x$ に対し、
を満たす正の値 $\delta'$ が存在する。 ここで、 $\log e = 1$ を用いた。
  $x$ と $\epsilon'$ が任意の正の数であることから、 $\epsilon'/x$ もまた任意の正の数である。 そこで、 $ \epsilon'/x = \epsilon $ と置くと、 次の関係が成り立つ。 すなわち、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
を満たす正の数 $\delta'$ が存在する。
  ところで、 自然対数 $e$ が
に等しいことから (証明はネピアの定数が実関数の極限にも等しいを参考)、
を満たす正の数 $R$ が存在する。 このとき $y$ を
と置くと、
が成立するので、 $(1)$ $(2)$ $(4)$ から次の関係を得る。 すなわち、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
を満たす正の数 $x/R$ が存在する。 ここで、 $ \delta = \frac{x}{R} $ とすると、 この関係は、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
を満たす正の数 $\delta$ が存在すると言い直される。
  ところで、 $(3)$ と べき関数の対数関数の性質、 および、 対数関数の差が分数の対数関数に等しいこと を用いると、
と表せる。 ゆえに $(5)$ から、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
を満たす正の値 $\delta$ が存在する。
  したがって、
が成り立つが、 左辺は対数関数の微分の定義そのものであるので、
を得る。