レビチビタの記号の定義

  $i_{1}, i_{2},\cdots,i_{n}$ のそれぞれを $1$ から $n$ までの値をとる自然数とする。 $\{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}\}$ が $ \{12 \cdots n \} $ を偶数回だけ入れ替えて得られる場合に偶置換と呼び、 $\{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}\}$ が $ \{12 \cdots n \} $ を奇数回だけ入れ替えて得られる場合に奇置換と呼ぶとき、

レビチビタの記号の定義00

によって定義される記号を、レビチビタの記号 (Levi-Civita symbol) という。

: $n=3$ の場合

  $\epsilon_{132}$ の添え字 $\{132\}$ は、$\{123\}$ の二番目の数と三番目の数を入れ替えることで得られるので、 奇置換である(入れ替えが一回)。 よって

レビチビタの記号の定義01

である。また $\epsilon_{231}$ の添え字 $\{231\}$ は、 $\{123\}$ の二番目の数と三番目の数を入れ替えて $\{132\}$ とし、 その後、三番目の数と一番目の数を入れ替えて $\{231\}$ とすることで得られるので、 偶置換である(入れ替えが二回)。よって

レビチビタの記号の定義02

である。
  レビチビタの記号の値が $0$ になる場合は、添え字 $\{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}\}$ が $\{12 \cdots n \}$ の入れ替えによって表せない場合、 すなわち、少なくともどれか一つの組が等しい場合 $(i_{j} = i_{k})$ である。 例えば $n=3$ の場合、$\epsilon_{122}$ は二番目と三番目の値が等しいので、

レビチビタの記号の定義03

である。

  一般に、レビチビタの記号 $\epsilon_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}$は、添え字の入れ替えに対して、 符号を変える性質を持つ。すなわち

レビチビタの記号の定義04

を満たす。 実際、上の例においても、

レビチビタの記号の定義05

が成立する。

最終更新 2017年 12月17日


  名称について

  レビチビタの記号には、様々な呼び名がある。「レビチビタの記号」とは 主に物理学の世界で使われ、「レビチビタのイプシロン」や「反対称テンソルイプシロン」と称されることもある。 一方で、数学や工学の世界では「Eddington の記号」または「Eddington のイプシロン」と称されることがある。






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