一次補間

  関数 $f(x)$ を 二点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ と $(x_{1}, f(x_{1}))$ を通る一次関数 $p(x)$ で近似する。

ラグランジュ一次補間00

$p(x)$ は、ラグランジュの補間公式によって

ラグランジュ一次補間01

と求められる。
最終更新 2016年1月30日


  詳細

  ラグランジュ補間公式から直接導出すればよいが、 ここでは公式の導出と同様の議論を行って、$p(x)$ を求めることにする。
  二点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ と $(x_{1}, f(x_{1}))$ 通る一次関数 $p(x)$ は

ラグランジュ一次補間02

を満たす。
ラグランジュ補間例題イメージ

  $p(x)$ を 一次式 $L_{i}(x)$ $(i=0,1)$ によって

ラグランジュ一次補間03

と置く。
  $p(x_{0}) = f(x_{0}) $ が満たされるためには、一次式 $L_{i}(x)$ が

ラグランジュ一次補間04

を満たせばよい。
  同様に $p(x_{1}) = f(x_{1}) $ が満たされるためには、 一次式 $L_{i}(x)$ が

ラグランジュ一次補間06

を満たせばよい。
  $L_{0}(x_{1}) = 0$ より $L_{0} (x)$ は因数定理によって、

ラグランジュ一次補間07

と表すことができる。 ここで $\alpha_{0} $ は定数であるが、 $L_{0}(x_{0}) = 1$ から

ラグランジュ一次補間08

と求まる。ゆえに、

ラグランジュ一次補間09

を得る。
  同様に $L_{1}(x_{0}) = 0$ より $L_{1} (x)$ は因数定理によって、

ラグランジュ一次補間10

と表すことができる。ここで $\alpha_{1} $ は定数であるが、 $L_{1}(x_{1}) = 1$ から

ラグランジュ一次補間11

と求まる。ゆえに

ラグランジュ一次補間12

を得る。
  以上から、二点 $(x_{0}, f(x_{0})), (x_{1}, f(x_{1}))$ を通る 一次式 $p(x)$ は、

ラグランジュ一次補間13

と表される。
  ここでは、関数 $f(x)$ を近似する一次関数として $p(x)$ を表しているが、 単に 二点を通る 一次関数を求める公式と見なしてもよい。


 具体例

  関数 $f(x)$ が二つの点 $(2,3)$, $(5, 9)$ を通るとき、 この二点を通る一次関数 $p(x)$ で $f(x)$ を近似すると、$p(x)$ は、 上の結果により、

ラグランジュ一次補間14

である。




ラグランジュの例題   2次補間の場合
ラグランジュの例題   3次補間の場合






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