内積と外積が等しい二つのベクトルは等しい

  あるベクトルに対する内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい。 すなわち、 ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい00

を満たす $\mathbf{c}\neq 0$ が存在するならば、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい01
である。
最終更新 2016年 3月12日


  証明

  ベクトル $\mathbf{c}$ と平行な $Z$ 軸を持つ座標系を $S$ とする(図)。 $S$ の $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸方向を向いた基底をそれぞれ $\mathbf{e}_{x}$、$\mathbf{e}_{y}$、$\mathbf{e}_{z}$ とすると、 $\mathbf{c}$ は、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい02
と表せる。

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい00

$\mathbf{c}\neq 0$ であるので、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい03

である。 $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を $S$ の基底を用いて、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい04
と表すと、 $(1)$ から

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい05

である。 よって、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい06
であるならば、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい07
が成立し、 $(2)$ から、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい08
を得る。
  一方で、 $(1)$ と $(3)$ から

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい09
であるので、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい10
であるならば、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい11

が成立する。 よって、$(2)$ から、

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい12
が成立する。
  以上の $(4)$ と $(5)$ から

内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい13
である。








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