対角行列の行列式

対角行列の行列式は対角成分の積に等しい。すなわち

対角行列の行列式00

最終更新 2015年 8月 28日


  証明

  上三角行列の行列式 の結果から明らかであるが、 ここでは、その結果を導出したときと同様の証明を行う。
  $A$ を対角行列

対角行列の行列式01

とすると、1 列めの列ベクトルの第 2 成分以降がゼロであるので、 $A$ の行列式は、 $A$ から 1 行と 1 列を取り除いた小行列式と、 $1$ 行 $1$ 列成分の積で表すことができる( 1 列の第 2 成分以降がゼロの場合を参考)。 すなわち、



と表せる。
  右辺の行列式は、1 列めの列ベクトルの第 2 成分以降がゼロであるので、 上と同じように

対角行列の行列式03

が成立する。よって、

対角行列の行列式04

を得る。
  以上のような議論を繰り返すことによって、

対角行列の行列式05

が成立することが示される。







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