ベータ関数の対称性

  次の積分で定義される $s$ と $t$ の関数をベータ関数 (beta function) $B(s,t)$ という。

ベータ関数の対称性00

ここで、$s, t \gt 0$ である。
  ベータ関数は、変数 $s, t$ の入れ替えに対して、不変に保たれる。すなわち、

ベータ関数の対称性01

が成立する。
最終更新 2015年 12月 12日


  証明  

  ベータ関数の定義 $(*)$ において、$1-x = u$ と置くと、$\mathrm{d}x/\mathrm{d}u = -1$ であるので、

ベータ関数の対称性02

と表せる。
  $(*)$ より、右辺は、ベータ関数 $B(t,s)$ である。よって、

ベータ関数の対称性03

が成立する。


ページのトップへ戻る