ド・モアブルの定理 ~ 証明と例題 ~
ド・モアブルの定理
任意の整数 $n$ に対して、
次の恒等式が成立する。
$$
\tag{*}
$$
この関係を
ド・モアブルの定理 (De Moivre's theorem) と呼ぶ。
証明
任意の整数 $n$ に対する証明を次の 3 つに分けて行う。
(1) $n$ が正の整数の場合
(2) $n = 0$ の場合
(3) $n$ が負の整数の場合
(1) $n$ が正の整数の場合
数学的帰納法によって証明する。
$n=1$ の場合、明らかに $(*)$ は成立する。
$n=k$ ($k$ は正の整数) の場合に $(*)$ が成立すると仮定する。すなわち
を仮定する。このとき
複素数の積の定義から
と表せるが、
加法定理によって、
それぞれの項に対して
が成立するので、
を得る。すなわち $n=k+1$ に対しても $(*)$ が成立する。
以上から、$n$ が正の整数の場合に $(*)$ が成立する。
(2) $n = 0$ の場合
であり、
であるので、$(*)$ が成立する。
(3) $n$ が負の整数の場合
と表すと、$-n$ が正の整数であることから、$(1)$ により、
右辺の分母が
を満たす。
ゆえに
三角関数の諸性質を用いると、
が成立する。
以上から、
任意の整数 $n$ に対して、
が成り立つ。
例題
次の関係
を満たす複素数 $z$ を求めよ。
解答例
$z$ の
極表示
を用いると、
ド・モアブルの定理により、
である。
したがって、
$z^6 = -i$ であるならば、
である。
両辺の
絶対値をとると、
$
1 = r^{6}
$
であるので、
である。
したがって、
である。
$-i$ を
極表示すると、
であるので、
が成り立つ。
これより、
であるので、
である。
以上から、
である。
補足: オイラーの公式との関連
ド・モアブルの定理は、オイラーの公式
から出発すると、次のようにただちに証明される。