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  ド・モアブルの定理

  任意の整数 $n$ に対して、次の恒等式が成立する。

ドモアブルの定理00

この関係をド・モアブルの定理 (De Moivre's theorem) と呼ぶ。

最終更新 2015 年 5 月 24 日


  ド・モアブルの定理の証明

  任意の整数 $n$ に対する証明を次の 3 つに分けて行う。

  (1) $n$ が正の整数の場合
  (2) $n$ が 0 の場合
  (3) $n$ が負の整数の場合


  (1)   $n$ が正の整数の場合

  数学的帰納法によって証明する。
  $n=1$ の場合、明らかに $(*)$ は成立する。
  $n=k$ ($k$ は正の整数) の場合に $(*)$ が成立すると仮定する。すなわち

ドモアブルの定理01

を仮定する。このとき

ドモアブルの定理02

と表せるが、 加法定理によって、それぞれの項に対して

ドモアブルの定理03

が成立するので、

ドモアブルの定理04

を得る。すなわち $n=k+1$ に対しても $(*)$ が成立する。
  以上から、$n$ が正の整数の場合には $(*)$ が成立する。


  (2)   $n$ が 0 の場合

ドモアブルの定理05

であり、

ドモアブルの定理06

であるので、$(*)$ は成立する。


  (3)   $n$ が負の整数の場合

ドモアブルの定理07

と表すと、$-n$ が正の整数であることから、$(1)$ により、 右辺の分母が

ドモアブルの定理08

を満たす。 ゆえに

ドモアブルの定理09

が成立する。
  右辺は、分子と分母に $\cos (-n)\theta - i \sin (-n)\theta$ を掛けることにより、

ドモアブルの定理10

と表せる。ゆえに

ドモアブルの定理11

が成立する。
  $\cos (-n) \theta = \cos n \theta$、$\sin (-n) \theta = - \sin n \theta$ であるので、

ドモアブルの定理12

が負の整数 $n$ に対して成立する。

  補足: オイラーの公式から導出する場合

  ド・モアブルの定理は、オイラーの公式

ドモアブルの定理13

から出発すると、次のようにただちに証明される。

ドモアブルの定理14







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