ベクトル三重積の恒等式

  $3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$ による積 をベクトル三重積 (vector triple product) と呼ぶ。
  ベクトル三重積は次の恒等式を満たす。 これをラグランジュの公式 (Lagrange's formula) という。

証明

  $3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$を と表す。
  外積の定義より、 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ の各成分は、 である。 これより、 が成り立つ。 同様に他の成分についても、 が成り立つ。 以上をまとめると、 である。   外積の定義より、 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ の各成分は、 である。 これより、 が成り立つ。 同様に他の成分についても、 が成り立つ。 以上をまとめると、 である。