切断べき関数

定義

次の関数

$$ \tag{1.1} $$ を $n$ 次の切断べき関数 (truncated power function) という。
以下に例を挙げる。

例1

切断べき関数

は、 $x$ が $0$ より小さいならば $0$ であり、 $0$ 以上であるならば $x^{2}$ であるので、以下のように図示される。

例2

切断べき関数

は、 $x$ が $2$ より小さいならば $0$ であり、 $2$ 以上であるならば $(x-2)^{3}$ であるので、以下のように図示される。

微分 (導関数)

切断べき関数の導関数は、

である。

証明
$f(x) = (x-a)_{+}^{n}$ とすると、切断べき関数の定義より、

であるので、 $x \lt a$ の場合、

である。 $x = a$ の場合、微分の定義から

$x \gt a$ の場合、

である。以上から、

が成り立つ。

積分

切断べき関数の不定積分は、

である。

証明
微分して被積分関数となることを示せばよい。切断関数の微分の公式より、

であるので、

が成り立つ。

恒等式

切断べき関数には、次の恒等式が成り立つ。

$$ \tag{6.1} $$

証明
切断べき関数の定義を用いる。
$x \lt a$ 場合、 $(6.1)$ の左辺は、

である。一方右辺は、 $n$ が偶数の場合、

であり、 $n$ が奇数の場合、

である。
$x \geq a$ の場合には、 $(6.1)$ の左辺は、

であり、右辺は

である。
以上から、

が成り立つ。