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正規分布の分散と標準偏差  

  正規分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ に従う確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ は である。 標準偏差は、 である。

  証明

  正規分布 $N(\mu, \sigma^{2})$ に従う確率変数 $X$ の確率分布(確率密度関数) $p(x)$ は、 である。 分散の定義は、 であるが、正規分布の期待値は、 であるので、 と表される。
  右辺の積分変数を と置換すると、 $x - \mu= \sigma t $ であるので、 と表せる。 右辺に現れた積分は、 積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 2 次のガウス積分の公式によって、 という値を持つ。 ゆえに である。
  また、 標準偏差は、 である。   例 1:   下の図は $\mu=10$、$\sigma=2$ の場合の正規分布である。 この正規分布の分散は である。


例 2:   下の図は $\mu=10$, $\sigma=4$ の場合の正規分布である。 この正規分布の分散は である。   下の図は上の二つの正規分布を一つの図に表したものである。
分散の大きな正規分布(赤線)の方が、 分散の小さい正規分布(青線)よりもが分布の幅が広い。
  このように分散は、 確率分布の幅の広さを表す指標となり、 正規分布の場合には $\sigma^{2}$ が大きいほど、 幅が広くなる。