正規分布の期待値

  確率変数 $X$ がパラメータが $\mu$ と $\sigma$ の正規分布に従うとき、 すなわち、 であるとき、 $X$ の期待値 $E(X)$ は、 である。

  証明

正規分布 $N(\mu, \sigma)$ に従う確率変数 $X$ の確率密度関数 $p(x)$ は、 である。  よって、 期待値は、 である。  ここで、右辺の積分変数を と置くと、 であるので、 置換積分によって と表される。
  ここで、右辺の第一項の積分は、 積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 1 次のガウス積分であるので、 値は 0 である。すなわち、 である。 また、 第二項の積分は、 積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 0 次のガウス積分であるので、 である。
  これらより、 を得る。     例 1:
  下の図は、$\mu=5$, $\sigma=2$ の場合の正規分布である。 この場合の期待値は である。   下の図は、$\mu=10$, $\sigma=2$ の場合の正規分布である。 この場合の期待値は である。   下の図は、$\mu=10$, $\sigma=4$ の場合の正規分布である。 この場合の期待値は である。
  正規分布では、 $\sigma$ が大きくなると、 分布の幅が広がる。 一方で、 期待値も分布のピークの位置も変わらない。