正規分布の期待値
確率変数 $X$ がパラメータが $\mu$ と $\sigma$
の正規分布に従うとき、
すなわち、
であるとき、
$X$ の期待値 $E(X)$ は、
である。
証明
正規分布 $N(\mu, \sigma)$ に従う確率変数 $X$ の確率密度関数 $p(x)$ は、
である。
よって、
期待値は、
である。
ここで、右辺の積分変数を
と置くと、
であるので、
置換積分によって
と表される。
ここで、右辺の第一項の積分は、
積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 1 次のガウス積分であるので、
値は 0 である。すなわち、
である。
また、
第二項の積分は、
積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 0 次のガウス積分であるので、
である。
これらより、
を得る。
例
例 1:
下の図は、$\mu=5$, $\sigma=2$ の場合の正規分布である。
この場合の期待値は
である。
例 2:
下の図は、$\mu=10$, $\sigma=2$ の場合の正規分布である。
この場合の期待値は
である。
例 3:
下の図は、$\mu=10$, $\sigma=4$ の場合の正規分布である。
この場合の期待値は
である。
正規分布では、
$\sigma$ が大きくなると、
分布の幅が広がる。
一方で、
期待値も分布のピークの位置も変わらない。