ランクを計算する例題と解説
$(a)$
解説
以下に略解と要点、および解説付きの解答を記す。 なお、ランクの定義や一般的性質については、 「ランクの定義・性質」を参考。
略解
行列のランクを求めるための見通しの良い方法は、
行列を簡約化し、
主成分の数を数えることである (「ランク=主成分の数」を参考)。
以下では、
その方針に従って解答する。
$(a)$
$(b)$
上の計算を行う際の要点と解説を以下に記す。
ランクを計算するときの要点
行列のランクを求めるための見通しの良い方法は、
行列を簡約化し、
主成分の数を数えることである。
行列の主成分とは、各行を左から順に見たときに、
最初に現れる 0 でない成分のことである。
また、行列の簡約化とは、行基本変形によって、 次の4つのルールを満たす行列に変換することである。
(1) 主成分が 1 である。
(2) 主成分を持つ列ベクトルは、主成分を除く全ての成分が 0 である。
(3) 主成分は、右側に行くほど下側にある。
(4) ゼロベクトルの行ベクトルは、 ゼロでない行ベクトルよりも下側にある。
これらのルールを確認しながら、 行基本変形を繰り返すと、 簡約化行列にたどり着くことができる。 基本変形の方針としては、 簡約化された行列が持つ次の性質に着目するのが良い。 すなわち、 簡約化された行列は、
「右に向かって一段ずつ主成分が下がってゆく階段状の行列」
$$\tag{*}$$
になる (例えば、次のような形の行列)。
以下は、この方針に従って行基本変形を進めた解説を付きの解答例である。
解説付きの解答
$(a)$
次に 3 列の簡約化を行う。左から 3 列までのみを見ると、既にルール (1)-(4) が守られているので、 3 列を変形する必要がないことが分かる。4 列についても同様である。
以上より、$A$ を簡約化した行列は、
$(b)$
1 列がルール (2) を守るためには、 1 行め以外の成分の値を 0 にしなくてはならない。 そこで、1 行の -3 倍を 2 行から引き、 その後、 1 行を 3 行から引く。すなわち、
次に 2 列の簡約化を行う。 左から 2 列までのみを見ると、既にルール (1)-(4) が守られていることが分かるので、 これ以上の変形する必要はない。
したがって、 3 列の簡約化に進む。 既に 1 行に主成分が現れているので、 次に主成分が現れるとすれば、 2 行目である(性質 $(*)$ )。 そこで 2 行目を見てみると、3 列目に主成分 3 があるので、 この値が 1 になるように変形を行い、ルール (1) が守られるようにする。 すなわち、2 行に 1/3 を掛けることにより、
こうすると、 3 列の 2 行に値が 1 の主成分が現れるため、 ルール (1) と (3) が守られる。 一方で、ルール (2) を守るためには、 3 列の主成分以外の成分の値を 0 にしなくてはならない。 そこで、 2 行の -1 倍を 1 行から引き、 その後、 2 行の 5 倍を 3 行から引く。 すなわち、
次に 4 列の簡約化を行う。 既に 2 行に主成分が現れているので、 次に主成分が現れるとすれば、 3 行目である(性質 $(*)$ )。 そこで 3 行目を見てみると、4 列目に主成分 -5 があるので、 値が 1 になるように変形を行い、ルール (1)が守られるようにする。 すなわち、3 行に -1/5 を掛けることにより、
一方で、ルール (2) を守るためには、 4 列の主成分以外の成分の値を 0 にしなくてはならない。 そこで、 3 行の 2 倍を 1 行から引き、 その後、 3 行を 2 行から引く。すなわち、
以上より、$B$ を簡約化した行列は、
