余弦定理について
余弦定理 (証明)
$\triangle OAB$ の辺 $OA$, $OB$, $AB$
の長さをそれぞれ $a$, $b$, $c$
とする。また、
$\angle AOB = \theta$ とする (下図)。
このとき、次の関係が成り立つ。
この関係を
余弦定理
(Law of cosines)
という。
証明
点 $A$ から辺 $OB$ に下ろした垂線の足 (投影点) を $P$ とする。
また、$OP$, $PA$, $PB$ の長さをそれぞれ $p$, $p_{a}$, $p_{b}$ と表す
(下図)。
$\triangle AOP$ に着目すると、三角関数の定義から
である。また明らかに
である。
$\triangle APB$ に着目すると、三平方の定理から
である。以上から、
を得る。
例題1
$\triangle OAB$ の辺 $OA$, $OB$, $AB$ の
の長さをそれぞれ $4$, $3$, $5$
とする
(下図)。
このとき、
余弦定理を用いて
$\angle AOB $ を求めよ。
証明
$\angle AOB = \theta$ と置く。
余弦定理より、
が成り立つ。
これより、
であるので、
である
(ここで $\theta$ が三角形の内角であるので、$0 \lt \theta \lt \pi$ であることを用いた)。
例題2
$\triangle OAB$ の辺 $OA$, $OB$
の長さをそれぞれ $6$, $8$
とし、$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$
であるとする
(下図)。
このとき、
余弦定理を用いて
辺 $ AB $ の長さを求めよ。
証明
辺 $AB = c$ とすると、
余弦定理より、
が成り立つ。
これより、
である。
ベクトルを用いた余弦定理
$\triangle OAB$ のベクトル $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ をそれぞれ、
とし、$\angle AOB = \theta$ とする。
このとき、
余弦定理は
と表される。ここで $\| \cdot \|$ は
ノルムを表す記号である。
証明
$A$ から 直線 $OB$ に下した垂線の足 (投影点) を $C$ とすると、
三角関数の定義から、辺 $OC$ と 辺 $AC$ の長さは、それぞれ
$$
\tag{1}
$$
と表される。
$B$ から $A$ に向かうベクトルが $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ であることから、
辺 $AB$ の長さの二乗は、
$$
\tag{2}
$$
である。
一方、
辺 $AB$ の長さの二乗は
三平方の定理 と $(1)$ によって、
とも表される。
ここで、
$(1)$ から
$CB$ の長さが、
であることから、
$$
\tag{3}
$$
である。
以上の $(2)$ と $(3)$ から、
$$
\tag{4}
$$
を得る。
見方を変えると、この関係は左辺の $\| \mathbf{a} - \mathbf{b} \|^2$
を
ノルムの定義
と
内積のルールに従って展開したに過ぎない。
すなわち、
と $(4)$ が得られる。
最後の等号では
内積とコサインの関係を用いた。