ダランベールの判定法とは？

ダランベールの判定法

数列 $\{ a_{n} \}$ から成る $\big| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \big|$ の極限が $\alpha$ に確定するとき、すなわち、

であるとき、級数

は、 $\alpha \lt 1$ ならば収束し、 $\alpha \gt 1$ ならば発散する。これをダランベール判定法 (d'Alembert's ratio test) という。

証明
以下の関係

が成り立つ (「補助定理」を参考) ので、コーシーの判定法により、級数

は、 $\alpha \lt 1$ ならば収束し、 $\alpha \gt 1$ ならば発散する。

補助定理

以下の関係が成り立つ。

ここで $\alpha$ は有限値または $\pm \infty$ である。

証明

を用いると、

$$ \tag{2.1} $$ であるが、この中で $\frac{1}{n}\log |a_{n}|$ の部分は、

と表され、

と数列 $\{ b_{n} \}$ を定義すると、

$$ \tag{2.2} $$ と表される。ここで分数の対数関数の性質から

であり、加えて

であるならば、対数関数の連続性より、

が成り立つ。したがって、$(2.2)$ と和の極限の性質から

が成り立つ。これと $(2.1)$ から

を得る。

具体例

級数

が発散することをダランベールの判定法を用いて示す。

証明
$\frac{ (n+1)^{n}}{n!} = a_{n}$ とおき、ダランベールの判定法を適用する。

であるので、ネイピアの定数の定義より、

である。したがって、

は発散する。