二項定理

証明
  数学的帰納法によって、 任意の $n = 1,2,\cdots$ に対して、 が成り立つことを証明する。
  はじめに、 組み合わせの定義 と、$0!=1$ と定義されることから、 であるので、 が成り立つ。 これは、$n=1$ の場合の二項定理である。
  続いて、 $n=m$ の場合の二項定理 が成立すると仮定した上で、 $n=m+1$ 場合にも \begin{eqnarray} (p + q)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1} {}_{m+1} \mathrm{C}_{\hspace{1mm}k} p^{k} q^{m+1-k} \end{eqnarray} が成り立つことを証明する。
  まず $(p+q)^{m+1}$ は と表せるが、右辺の第一項は、 と表せ、 第二項は、 と表せる。 したがって、 と表せる。 ここで組み合わせの定義より、 が成立するので、 が成り立つ。 これは $n=m+1$ の場合の二項定理である。 ここで、3つめの等号で であることを用いた。
  以上から、 数学的帰納法によって、 任意の $n = 1,2,\cdots$ に対して、 が成り立つことが証明された。
  最後に、 を証明する。 左辺に対して $n-k=m$ と置くと、 であるが、 が成り立つので、 が成り立つ。