コーシー列と数列の収束
コーシー列の定義
任意の正の数 $ \epsilon $ に対して、
が成り立つ $N$ が存在するとき、
数列 $\{ a_{n} \}$ が
コーシー列であるという。
極限
数列が収束 $ \Longrightarrow $ 数列がコーシー列
数列 $ a_{n} $ が収束するならば、
$ a_{n} $ はコーシー列である。
証明
数列 $a_{n}$ が収束し、極限値を $\alpha$ とする。
$\epsilon' $ を任意の正の数とする。
$ a_{n}$ が $\alpha$ に収束するので、
が成り立つ整数 $N$ が存在する。
したがって、
$n, m > N$ を満たす全ての $n,m$ には
$$
\tag{1}
$$
が成り立つ。
$\epsilon'$ が任意の正の数であるので、
$2 \epsilon'$ もまた任意の正の数である。
そこで、$2 \epsilon' = \epsilon$ と置くと、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して $(1)$ が成り立つので、
以下の結論を得る。
すなわち、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
が成り立つ $N$ が存在する。
ゆえに、 $a_{n}$ はコーシー列である。
数列がコーシー列 $ \Longrightarrow $ 数列が収束
数列 $ a_{n} $ がコーシー列ならば、
$ a_{n} $ は収束する。
証明
数列 $a_{n}$ がコーシー列であるとすると、
任意の正の数 $\epsilon_{1}$ に対して、
$$
\tag{1}
$$
が成り立つ $N_{1}$ が存在する。
これより、
$$
\tag{2}
$$
である。
$m >N_{1}$ を満たす $m$ の中の一つの $m$ に着目する。
この $m$ に対して、
$C_{\mathrm{min}}$ と $C_{\mathrm{max}}$ を
$$
\tag{3}
$$
と定義する。ここで $\min$ は括弧の中に含まれる値の中の最小値を表し、
$\max$ は最大値を表す。
$n \leq N_{1}$ の場合、$(3)$ から
$
C_{\mathrm{min}} \leq a_{n}
$
であり、$n > N_{1}$ の場合には、$(2) (3)$ から
$
C_{\mathrm{min}} \leq a_{m} - \epsilon_{1} \lt a_{n}
$
である。
ゆえに、任意の $n$ に対して、
が成り立つ。同じように、$n \leq N_{1}$ の場合、$(3)$ から
$
a_{n} \leq C_{\mathrm{max}}
$
であり、
$n > N_{1}$ の場合には、$(2)$ から
$
a_{n} \lt a_{m} - \epsilon_{1} \leq C_{\mathrm{max}}
$
である。ゆえに、任意の $n$ に対して、
が成り立つ。以上から、任意の $n$ に対して、
が成り立つ。
したがって、
$ a_{n} $ は有界な数列である。
このことから、$a_{n}$ には収束する部分列が存在する
(
Bolzano の定理)。
その部分列を
と表す。例えば、$a_{n}$ の部分列とは
のようなものである。
部分列 $a_{n_{k}}$ は収束するので、
極限値を $\alpha$ と表すと、
任意の正の数 $\epsilon_{2}$ に対して、
$$
\tag{4}
$$
が成り立つ $N_{2}$ が存在する。
ここで整数 $N$ を
と定義すると、
$n, n_{k} > N$ を満たす $n$ と $n_{k}$ には
$(1)$ と $(4)$ が成り立つ。
このことを用いると、
$n > N$ であるならば、
$$
\tag{5}
$$
が成り立つ。ここで途中式で
$n_{k} > N$ を満たす $n_{k}$ を用いた。
$\epsilon_{1}$ と $\epsilon_{2}$ が任意の正の数であるので、
$\epsilon_{1} + \epsilon_{2}$ もまた任意の正の数である。
そこで、$\epsilon_{1} + \epsilon_{2} = \epsilon$ と置くと、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して $(5)$ が成り立つので、
以下の結論を得る。
すなわち、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
が成り立つ $N$ が存在する。
ゆえに、 $a_{n}$ は収束する
(
数列の収束を参考)。