ブーケの公式を解説
ブーケの公式と証明
弧長
$s$ の関数で表される曲線上の一点の位置を $\mathbf{r}(s)$ とする。
弧長が $s$ のときの接ベクトル・
法線ベクトル・
従法線ベクトルをそれぞれ
$\mathbf{e}_{1}(s)$、$\mathbf{e}_{2}(s)$、$\mathbf{e}_{3}(s)$
とするとき、
$\mathbf{r}(s)$ を
証明
$\mathbf{r}(s)$ をマクローリン展開すると、
$$
\tag{1.1}
$$
と表せる。ここで一階の微分は、
接ベクトルの定義より、
$$
\tag{1.2}
$$
であり、二階の微分は、
これとフレネ・セレの公式より、
$$
\tag{1.3}
$$
である。また三階の微分は、
$(1.3)$
と積の微分の公式とフレネ・セレの公式より、
$$
\tag{1.4}
$$
である。以上の
$(1.2)$
$(1.3)$
$(1.4)$
を
$(1.1)$ に代入すると、
を得る。
$\mathbf{r}(s)$ をマクローリン展開すると、
補足: ブーケの公式の意味
ブーケの公式 \begin{eqnarray} \mathbf{r}(s) &=& \mathbf{r}(0) + \big\{ s - \frac{\kappa(0)^2}{6}s^3 + \cdots \big\}\mathbf{e}_{1}(0) \\ &&+ \big\{ \frac{\kappa(0)}{2} s^2 + \frac{\kappa'(0)}{6}s^3 + \cdots \big\}\mathbf{e}_{2}(0) \\ &&+ \big\{ \frac{\kappa(0) \tau(0)}{6}s^3 + \cdots \big\}\mathbf{e}_{3}(0) \end{eqnarray} から、次のことが理解できる。すなわち、 $s=0$ における位置と各ベクトル
ブーケの公式 \begin{eqnarray} \mathbf{r}(s) &=& \mathbf{r}(0) + \big\{ s - \frac{\kappa(0)^2}{6}s^3 + \cdots \big\}\mathbf{e}_{1}(0) \\ &&+ \big\{ \frac{\kappa(0)}{2} s^2 + \frac{\kappa'(0)}{6}s^3 + \cdots \big\}\mathbf{e}_{2}(0) \\ &&+ \big\{ \frac{\kappa(0) \tau(0)}{6}s^3 + \cdots \big\}\mathbf{e}_{3}(0) \end{eqnarray} から、次のことが理解できる。すなわち、 $s=0$ における位置と各ベクトル
- 位置 $\mathbf{r}(0)$
- 接ベクトル $\mathbf{e}_{1}(0)$
- 法線ベクトル $\mathbf{e}_{2}(0)$
- 従法線ベクトル $\mathbf{e}_{3}(0)$