外積の定義と計算例

最終更新 2017年 12月30日
  $3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ は、
と定義される。
  ここで $a_{i}$ と $b_{i}$ $(i=1,2,3)$ はそれぞれベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の成分である。
  簡単な説明と計算例および入力フォーム計算機を以下に記す。

  説明

定義
$3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を
と表すとき、
と定義される $3$ 次元ベクトルを $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の 外積 と呼び ( 補足 を参考 )、 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ と表す。 すなわち、
である。 なお基本ベクトル
を用いると、 $(1)$ は、
と表される。
計算例
1.  ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が
であるとき、 これらの外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ は
となる。
2.  ベクトル $\mathbf{e}_{1}$ と $\mathbf{e}_{2}$ と $\mathbf{e}_{3}$ が
であるとき、 互いの外積は
となる。
  このように、 $\mathbf{e}_{1} $ と $\mathbf{e}_{2} $ の外積が $\mathbf{e}_{3} $ になり、 $\mathbf{e}_{2} $ と $\mathbf{e}_{3} $ の外積が $\mathbf{e}_{1} $ になり、 $\mathbf{e}_{3} $ と $\mathbf{e}_{1} $ の外積が $\mathbf{e}_{2} $ となるような外積に対して巡回的な構造を持つ 3 つのベクトルを右手系と呼ぶ。
3.  ベクトル $\mathbf{a}$ が
であるとき、 外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{a}$ は
となる。 このように同じベクトル同士の外積は一般に $\mathbf{0}$ ベクトルになる。
計算用入力フォーム
  下記入力フォームに値を入力し、「実行」ボタンを押してください。 外積の計算結果が表示されます。
$\times$ $=$
補足: 呼び名について
  「外積」という呼び名は、 グラスマン代数という幾何学的な代数に現れる「ウェッジ積 (wedge product)」に対しても用いられる。 そこで、 これと区別するために、 定義 $(1)$ のことを「外積」と呼ばずに、 「ベクトル積 (vector product)」や「クロス積 (cross product)」と呼ぶことがある。
  英語では $(1)$ のことを 「exterior product」 ということもある。 また時には 「outer product」 ともいうが、 これは日本語でいうところの「直積」を指すこともある。
  このように「外積」には様々な呼び名が使われている。