一様分布の分散

  $X$ の確率密度関数 $p(x)$ が一様分布であるとする。すなわち、

一様分布の期待値00

であるとする。
  このとき、$X$ の分散 $V(X)$ は、

一様分布の期待値01
である。
最終更新 2015年 11月2日


  証明  

  一般に分散は二乗期待値と期待値の二乗の差である

一様分布の期待値02

一様分布の期待値は、

一様分布の期待値03

であるので、$(1)$ より、

一様分布の期待値04

が成立する。 よって、二乗期待値 $E(X^2)$ を求めれば、分散 $V(X)$ が求まる。
  二乗期待値 $E(X^2)$は、一様分布の定義 $(*)$ により、

一様分布の期待値05

である。 右辺の積分は、

一様分布の期待値06

であるので、二乗期待値は、

一様分布の期待値07

である。
  よって、$(2)(3)$ により、分散は、

一様分布の期待値08
である。








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