t分布の期待値

  $X$ の確率密度関数 $p(x)$ が自由度 $n$ の t分布であるとする。すなわち、

t分布の期待値00

であるとする。ここで、$B\left( \cdot, \hspace{1mm} \cdot \right)$ はベータ関数である。
  このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ は、

t分布の期待値01

である。
最終更新 2015年 12月8日


  証明  

  期待値の定義より、

t分布の期待値02

である。t分布の定義 $(*)$ によって、

t分布の期待値03

である。
  右辺の積分において、積分変数を

t分布の期待値04

と置くと、

t分布の期待値05

であるので、

t分布の期待値06

と表される。最後の行は、非積分関数 $s$ を $x$ に置き換えて表しただけである。
  これより、

t分布の期待値07

であるので、$(1)$ から、

t分布の期待値01

を得る。 すなわち、 t分布の期待値は、$0$ である。 このように確率密度関数が偶関数である分布の期待値は、いつも $0$ になる。




t分布の分散の求め方




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