回帰直線の求め方 ～ 証明と具体例 ～

  二種類のデータを $\{ x_{i} \}$ と $\{ y_{i} \}$ とし、 データの総数がともに $n$ であるとする。 具体例としては、 $n$ 人の生徒が在籍するクラスがあり、 それぞれの生徒の身長を $x_{i}$、体重を $y_{i}$ と表したと考えるとよい。
  二種類のデータを のように一組で表し、 $xy$ 座標系の上に $x_{i}$ が $x$ 座標値になり、 $y_{i}$ が $y$ 座標になるようにデータをプロットする (図)。 $xy$ 座標系に一本の直線を引き、 その直線と各データとの $y$ 座標の差を $d_{i}$ とする。 その直線を と表すと、$d_{i}$ は である (上図参考) 。 $xy$ 座標系に直線は無数に存在するが、$d_{i}^2$ の総和を最小にする直線を $R$ とする。 すなわち、$R$ は を最小にする直線である。
  以下で導出するように、 直線 $R$ は と表される直線である。 ここで $a_{r}$ と $b_{r}$ は、 であり、$\overline{x}$ と $\overline{y}$ はそれぞれデータ $x_{i}$ と $y_{i}$ の平均値である。
  このような直線 $R$ を 回帰直線 (regression line) とよぶ。 $R$ はデータとの $y$ 座標の差の二乗を最小にするという意味で、 データに最もフィットする直線である。   データセット にフィットする回帰直線 $R$ は、次のように表される。 と表される直線である。 ここで $a_{r}$ と $b_{r}$ は、 であり、$\overline{x}$ と $\overline{y}$ はそれぞれデータ $x_{i}$ と $y_{i}$ の平均値である。

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  以下の表はあるクラスの生徒10人分の身長と体重のリストである。

	身長(cm)	体重(kg)
1	140	35
2	142	34
3	138	35
4	144	40
5	136	30
6	148	37
7	150	42
8	133	29
9	149	33
10	137	29

このデータセットにフィットする回帰直線を求めよ。

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