ポアソン分布の分散  

最終更新 2018年 1月7日
  $X$ が $0, 1,2 , \cdots,$ の値をとり、それぞれの値になる確率がポアソン分布 すなわち、
ポアソン分布
に従うとき $(\lambda \gt 0)$ 、 $X$ の分散 $V(X)$ は、
ポアソン分布の分散
である。

  証明

  一般に分散は二乗期待値と期待値の二乗の差に等しい。 すなわち、
である。 ポアソン分布の期待値が、
であるので、
と表せる。 よって、 二乗期待値 $E(X^2)$ を求めれば、 分散 $V(X)$ が求まる。
  二乗期待値 $E(X^2)$は、 ポアソン分布 $(*)$ の定義により、
である。 ここで $k=0$ の項が $0$ であることから、 総和の中からこの項を取り除いて整理すると、
である。
  ここで $k=(k-1)+1$ の関係を使って、 右辺の総和を分けると、
と表せるが、 右辺第一項の総和の $k=1$ の項は $0$ であるので、この部分を取り除いて整理すると、
と表せる。
  この式の右辺第一項の総和に対して $l=k-2$ とし、 第二項の総和に対して $m=k-1$ と置くと、
と表せるが、 第一項と第二項に現れた総和の部分は、 $e^{\lambda}$ の テーラー展開 に等しい、 すなわち、
であるので、 二乗期待値は、
であることが分かる。
  したがって、 $(1)$ からポアソン分布の分散は、
であり、 期待値と等しい。
  下のグラフは、$\lambda=2$ (青線)、 $\lambda=4$ (赤線)、 $\lambda=6$ (黄線)、 のポアソン分布を一つの図に描画したものである。
  それぞれの分散は、
であり、 $\lambda$ が大きいほど山の幅 (分散) が広がってゆくことが分かる。