ポアソン分布の期待値  

最終更新 2018年 1月7日
  $X$ が $0, 1,2 , \cdots,$ の値をとり、 それぞれの値になる確率がポアソン分布
ポアソン分布
に従うとき ($\lambda \gt 0$)、 $X$ の期待値 $E(X)$ は $\lambda$ である。 すなわち、
ポアソン分布の期待値
である。

  証明

  期待値の定義とポアソン分布の定義より、
である。
  右辺の総和のうち、$k=0$ の項が $0$ であることから、総和の中からこの項を取り除き、整理すると、
と表せる。
  ここで、$l=k-1$ とすると、
と表せる。右辺の総和は、$e^{\lambda}$ の $x=0$ におけるテーラー展開であるので、すなわち、
であるので、期待値は、  
である。
例:
例 1:   下のグラフは、$\lambda=2$ のポアソン分布をである。
期待値は、
である。
例 2:   下のグラフは、$\lambda=4$ のポアソン分布をである。
期待値は、
である。
例 3:   下のグラフは、$\lambda=6$ のポアソン分布をである。
期待値は、
である。
比較:   下のグラフは、$\lambda=2$ (青線)、 $\lambda=4$ (赤線)、 $\lambda=6$ (黄線)、 を一つの図に描画したものである。
ポアソン分布の期待値の図
パラメータ $\lambda$ が大きいほど、山の頂点が右側に行く(期待値が大きくなる) ことが見て取れる。