負の二項分布の期待値の求め方  

最終更新 2018年 3月29日
  確率変数 $X$ が負の二項分布に従うとき、 すなわち、 $X=x$ $(x=0,1,\cdots)$ となる確率が
負の二項分布
であるとき、 $X$ の期待値 $E(X)$ は、
負の二項分布の期待値
である。

  証明

  確率変数 $X$ が負の二項分布
負の二項分布
に従うとき、 期待値 $E(X)$ は、
である。
  組み合わせ記号の定義より、
であるので、
と表せる (総和の部分が $1$ から始まっていることに注意) 。
  総和の部分を $0$ から始まるように書き表すと、
となる。
  ここで一般に $-1 < y < 1$ において
が成立していること (証明は負の二項部分で現れる整級数を参考) を用いると、
であることが分かる。 これより、
をうる。
例と解釈:
$k=3$ の場合のグラフを記す。 $p=0.5$ (青線) の場合と $p=0.25$ (赤線) の場合がプロットされている。
負の二項分布の図
$ p=0.5 $ の場合、 期待値は、
である。
  一方、 $ p=0.25 $ の場合、 期待値は、
である。
  この結果は次のように解釈できる。 負の二項分布とは、 成功と失敗のあるテストを行って、 そのテストが「$k$ 回成功するまでに $x$ 回失敗する確率」を表している。 従って、 $p=0.5$ の場合には、 $E(X)=3$ であるので、 このテストは $3$ 回成功するまでに $3$ 回失敗することが期待される。 例えば、 歪みのないコインを投げて、 $3$ 回表を出すためには、 $3$ 回裏を出すことが期待される。 一方で $p=0.25$ の場合には、 $E(X)=9$ であるので、 このテストは $3$ 回成功するまでに $9$ 回失敗することが期待される。 例えば、 $0.25$ の確率でしか表が出ない歪んだコインを投げて、 $3$ 回表を出すためには、 $9$ 回裏を出すことが期待される。