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二項分布に対する最尤法

  二項分布 を定義するパラメータ $q$ の最尤推定量は、 観測値 $\{x_{1}^{M}, x_{2}^{M}, \cdots, x_{n}^{M} \}$ の平均値の $\frac{1}{m}$ 倍である。 すなわち、 である。 ここで、 $\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{M} $ である。

  解説

  二項分布のパラメータ推定
  母集団の確率分布が二項分布 に従うことは分かっているが、 パラメータ $q$ の値が何であるかは分かっていない。 そういう状態で $n$ 回の観測を行ったところ、 観測値 を得たとする。
  この結果を使って、 パラメータ $q$ の値が何であったかを推定したい。 これを二項分布に対するパラメータ推定という。


二項分布の最尤推定
  パラメータ推定には、 様々な方法があるが、 二項分布の最尤推定では、 尤度と呼ばれる次の関数 が最大になるようにパラメータ推定を行う。 すなわち、 観測結果 $(2)$ から計算される尤度 $L$ が最大になる $q$ を求め、 それを推定値とする。


尤度とは？
  観測結果全体が $(2)$ となる確率を と表すとき、 各観測が独立に行われたならば、 が成立する。
  このように、 尤度は、 観測が独立に試行された場合の確率そのものであるので、 尤度が最大になるときに、 確率 $p( x_{1}^{M}, \hspace{1mm} x_{2}^{M}, \hspace{1mm}\cdots, \hspace{1mm}x_{n}^{M} ) $ も最大になる。
  ゆえに、 尤度を最大にするパラメータ $q$ を求めれば、 観測値全体が $(2)$ となる確率が最大になる母集団分布が求められる。


最尤推定値の導出
  尤度を最大にする $q$ を求める。
  尤度 $(3)$ を確率分布 $(1)$ によって表すと、 である。
  $L$ が最大になる $q$ は、 $L$ を $q$ で微分して $0$ になる条件 から求められる。 ただし、 最尤法では、 尤度が を満たすことから、 $\log L$ を $q$ で微分して、 $0$ になる条件 から求められる(これについては、 「$ f(x)>0$ のとき、 $\log f(x)$ が $x=x_m$ で最大になるならば、 $f(x)$ もまた $x=x_m$ で最大になる」 を参考)。
  $(5)$ から尤度の対数は、 と表されるので、 微分が となることから、 条件 $(6)$ は、 と表される。
  この式から を得る。 ここで、 $\overline{x}$ は 観測値 $(2)$ の平均値である。
  このように条件 $(6)$ から $q$ の値が得られたが、 この値において、 $\log L$ が最大になるかどうかはまだ分からない。 なぜなら、 条件 $(6)$ から得られる結論には、 一般に、 関数が最小になる場合や極小/極大になる場合、 および、 平らになる場合も含まれるからである。
  そこで以下では、 $q$ が $(8)$ のときに、 $\log L$ が最大になることを示す。


尤度が最大になること
  $(7)$ から $\log L$ の $q$ についての微分は、 であるが、 この関数は、 第一項の $ \frac{x_{1}^{M} + x_{2}^{M} + \cdots + x_{n}^{M}}{q}$ が $q$ についての単調減少関数であり、 第二項の $- \frac{mn - (x_{1}^{M} + x_{2}^{M} + \cdots + x_{n}^{M})}{1-q}$ もまた $q$ についての単調減少関数であるので、 単調減少関数である ($ 0 \lt q \lt 1 $ であることに注意)。 また、 $q = \frac{1}{m} \overline{x}$ のときにのみ $0$ となるので、次のような増減表を持つ関数である。 よって、 $\log L$ は、 $q = \frac{1}{m}\overline{x}$ のときに最大になる。


結論
  $\log L$ が $q = \frac{1}{\overline{x}}$ のときに最大になることから、 $L$ そのものも、このときに最大になる。 言い換えると、 二項分布の尤度 $L$ を 最大にするパラメータ $q$ の値は、 観測値の平均値の逆数である。 すなわち、 である。