幾何分布の分散の求め方

最終更新 2017年 11月12日
  確率変数 $X$ が幾何分布
幾何分布
に従うとき $(k=1,2,\cdots)$ 、 $X$ の分散は、
幾何分布の分散
である。 ただし、$0 \lt p \lt 1$ とする。

  証明

  一般に分散は二乗期待値と期待値の二乗の差である。 すなわち、
である。 幾何分布の期待値は、
であるので、
である。 よって、 二乗期待値 $E(X^2)$ を求めれば、 分散 $V(X)$ が求まる。
  確率変数 $X$ が幾何分布
に従うので、 二乗期待値 $E(X^2)$ は、
である。
  右辺の総和を求めるために、関数 $1/(1-x)$ のテーラー展開
に着目し、両辺を微分する。
両辺に $x$ を掛けて、
とし、 再び両辺を微分すると、
を得る。 $x=1-p$ とすると、
であるので、 $(2)$ に代入すると、
を得る。
  従って、 $(1)$ から
である。
:
  例 1:   下のグラフは、$p=1/2$ の幾何分布である。
幾何分布の分散の図
分散は、
幾何分布の分散の例
である。
例 2:
  下のグラフは、$p=1/4$ の幾何分布である。
分散は、
である。
例 3:
  下のグラフは、$p=1/8$ の幾何分布である。
分散は、
である。
  $p$ が大きいほど グラフが平坦になり、分散が増加する。