幾何分布の期待値の求め方

最終更新 2018年 1月7日
  $X$ が $1,2 , \cdots,$ の値をとり、それぞれの値になる確率が幾何分布に従うとする。 すなわち、
幾何分布
であるとする。ここで $0 \lt p \lt 1$ である。
  このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ は、
幾何分布の期待値
である。

  証明

  確率分布が幾何分布
幾何分布
に従うので、 $X$ の期待値は、
と表せる。
  右辺の総和を求めるために、関数 $1/(1-x)$ のテーラー展開
に着目すると、 左辺の微分は、
であり、 右辺の微分は、
であるので、
が成り立つことが分かる。 この等式を $x= 1-p$ と変数変換して表すと、
となる。
  これを$(1)$ に代入すると、
を得る。

例 1:   下のグラフは、$p=1/2$ の幾何分布である。
幾何分布の期待値の図00
期待値は、
である。
例 2:
  下のグラフは、$p=1/4$ の幾何分布である。
幾何分布の期待値の図01
期待値は、
である。
例 3:
  下のグラフは、$p=1/8$ の幾何分布である。
幾何分布の期待値の図02
期待値は、
である。
  $p$ が小さいほど、グラフが平坦になり、期待値が増加する。