指数分布の分散  

最終更新 2018年 9月23日
  確率密度関数 $p(x)$ が指数分布であるとする。すなわち、
指数分布
であるとする。 ここで、$x\lt 0$ の場合は $p(x)=0$ である。
  このとき、分散 $V(X)$ は、
指数分布の分散
である。

  証明

    一般に分散は二乗期待値と期待値の二乗の差である。
指数分布の期待値は、
であるので、 $(1)$ より、
が成立する。 よって、二乗期待値 $E(X^2)$ を求めれば、分散 $V(X)$ が求まる。
  二乗期待値 $E(X^2)$は、指数分布 $(*)$ の定義により、
である。 右辺の積分は、部分積分によって、
と表せるが、極限におけるべき関数と指数関数の振る舞いにより、 \begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow \infty} xe^{-\lambda x} &=& \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{e^{\lambda x}} = 0 \\ \hspace{1mm} \\ \lim_{x \rightarrow \infty} x^2 e^{-\lambda x} &=& \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{e^{\lambda x}} = 0 \end{eqnarray} であるので、 $(4)$ の第一項と第二項は $0$ である。
  したがって、
である。
  これと $(3)$ から、二乗期待値は、
である。
  これと $(2)$ から分散は、
である。
 例
  下の図は、$\lambda=0.5$ (青色), $\lambda=1.0$ (赤色), $\lambda=2.0$ (緑色) の場合の指数分布である。
指数分布の分散の図01
$\lambda$ が小さくなるほど、分布が広がる様子が見て取れる。
  実際、それぞれの $\lambda$ に対する分散は
となり、$\lambda$ が大きくなるほど、小さい値になる。