指数分布の期待値の求め方  

最終更新 2017年 11月 2日
  指数分布の確率密度関数 $p(x)$ は
指数分布
である。
  このとき期待値は、
指数分布の期待値
である。

  証明

指数分布の確率密度関数 $p(x)$ は、
指数分布
である。
  $x<0$ で $p(x)=0$ であることに注意すると、 期待値 $E(X)$ は、
である。
  右辺の積分は、部分積分によって、
と表せるが、ロピタルの定理により、
であるので、 $(2)$ の第一項は $0$ になる。
  従って、 $(2)$ の積分は、
である。 これを $(1)$ に代入すると、
を得る。
 例
    下の図は、$\lambda=0.5$ (青色), $\lambda=1.0$ (赤色), $\lambda=2.0$ (緑色) の場合の指数分布である。
指数分布の期待値の図
$\lambda$ が大きくなるほど、 $0$ に近い方の分布値が大きくなるので、 期待値は小さくなると予想できる。
  実際、それぞれの $\lambda$ に対する期待値は
であり、 $\lambda$ が大きくなるほど、 小さい値になる。